初级微积分示例

$f (x) = - \frac{7}{2} x - 3$

解题步骤 1

将 $f (x) = - \frac{7}{2} x - 3$ 写为等式。

$y = - \frac{7}{2} x - 3$

解题步骤 2

交换变量。

$x = - \frac{7}{2} y - 3$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $- \frac{7}{2} y - 3 = x$ 。

$- \frac{7}{2} y - 3 = x$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $y$ 和 $\frac{7}{2}$ 。

$- \frac{y \cdot 7}{2} - 3 = x$

解题步骤 3.2.2

将 $7$ 移到 $y$ 的左侧。

$- \frac{7 y}{2} - 3 = x$

解题步骤 3.3

在等式两边都加上 $3$ 。

$- \frac{7 y}{2} = x + 3$

解题步骤 3.4

等式两边同时乘以 $- \frac{2}{7}$ 。

$- \frac{2}{7} (- \frac{7 y}{2}) = - \frac{2}{7} (x + 3)$

解题步骤 3.5

化简方程的两边。

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解题步骤 3.5.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.1.1

化简 $- \frac{2}{7} (- \frac{7 y}{2})$ 。

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解题步骤 3.5.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1.1.1.1

将 $- \frac{2}{7}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 2}{7} (- \frac{7 y}{2}) = - \frac{2}{7} (x + 3)$

解题步骤 3.5.1.1.1.2

将 $- \frac{7 y}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 2}{7} \cdot \frac{- 7 y}{2} = - \frac{2}{7} (x + 3)$

解题步骤 3.5.1.1.1.3

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1)}{7} \cdot \frac{- 7 y}{2} = - \frac{2}{7} (x + 3)$

解题步骤 3.5.1.1.1.4

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 1}{7} \cdot \frac{- 7 y}{2} = - \frac{2}{7} (x + 3)$

解题步骤 3.5.1.1.1.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{7} (- 7 y) = - \frac{2}{7} (x + 3)$

解题步骤 3.5.1.1.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1.1.2.1

从 $- 7 y$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{- 1}{7} (7 (- y)) = - \frac{2}{7} (x + 3)$

解题步骤 3.5.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{7} (7 (- y)) = - \frac{2}{7} (x + 3)$

解题步骤 3.5.1.1.2.3

重写表达式。

$- - y = - \frac{2}{7} (x + 3)$

解题步骤 3.5.1.1.3

乘。

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解题步骤 3.5.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y = - \frac{2}{7} (x + 3)$

解题步骤 3.5.1.1.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = - \frac{2}{7} (x + 3)$

解题步骤 3.5.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.1

化简 $- \frac{2}{7} (x + 3)$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1

运用分配律。

$y = - \frac{2}{7} x - \frac{2}{7} \cdot 3$

解题步骤 3.5.2.1.2

组合 $x$ 和 $\frac{2}{7}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 2}{7} - \frac{2}{7} \cdot 3$

解题步骤 3.5.2.1.3

乘以 $- \frac{2}{7} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.3.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \cdot 2}{7} - 3 (\frac{2}{7})$

解题步骤 3.5.2.1.3.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{7}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 2}{7} + \frac{- 3 \cdot 2}{7}$

解题步骤 3.5.2.1.3.3

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$y = - \frac{x \cdot 2}{7} + \frac{- 6}{7}$

解题步骤 3.5.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1.4.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{2 \cdot x}{7} + \frac{- 6}{7}$

解题步骤 3.5.2.1.4.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}$ 是否为 $f (x) = - \frac{7}{2} x - 3$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3)$ 。

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = - \frac{2 (- \frac{7}{2} x - 3)}{7} - \frac{6}{7}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 2 (- \frac{7}{2} x - 3) - 6}{7}$

解题步骤 5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.1.1

组合 $x$ 和 $\frac{7}{2}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 2 (- \frac{x \cdot 7}{2} - 3) - 6}{7}$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $7$ 移到 $x$ 的左侧。

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 2 (- \frac{7 x}{2} - 3) - 6}{7}$

解题步骤 5.2.4.2

运用分配律。

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 2 (- \frac{7 x}{2}) - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

解题步骤 5.2.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $- \frac{7 x}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 2 \frac{- 7 x}{2} - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

解题步骤 5.2.4.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{2 (- 1) (\frac{- 7 x}{2}) - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

解题步骤 5.2.4.3.3

约去公因数。

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{- 7 x}{2}) - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

解题步骤 5.2.4.3.4

重写表达式。

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{- 1 (- 7 x) - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

解题步骤 5.2.4.4

将 $- 7$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{7 x - 2 \cdot - 3 - 6}{7}$

解题步骤 5.2.4.5

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{7 x + 6 - 6}{7}$

解题步骤 5.2.5

化简项。

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解题步骤 5.2.5.1

合并 $7 x + 6 - 6$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.5.1.1

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{7 x + 0}{7}$

解题步骤 5.2.5.1.2

将 $7 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{7 x}{7}$

解题步骤 5.2.5.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = \frac{7 x}{7}$

解题步骤 5.2.5.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{7}{2} x - 3) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7})$ 。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) - 3$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

运用分配律。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{2 x}{7}) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

将 $- \frac{7}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{- 7}{2} \cdot (- \frac{2 x}{7}) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

解题步骤 5.3.3.2.2

将 $- \frac{2 x}{7}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{- 7}{2} \cdot \frac{- 2 x}{7} - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

解题步骤 5.3.3.2.3

从 $- 7$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{7 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 x}{7} - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

解题步骤 5.3.3.2.4

约去公因数。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{7 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 x}{7} - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

解题步骤 5.3.3.2.5

重写表达式。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{- 1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

解题步骤 5.3.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

解题步骤 5.3.3.3.2

约去公因数。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

解题步骤 5.3.3.3.3

重写表达式。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = - 1 (- x) - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

解题步骤 5.3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = 1 x - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

解题步骤 5.3.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

解题步骤 5.3.3.6

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.6.1

将 $- \frac{7}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{- 7}{2} \cdot (- \frac{6}{7}) - 3$

解题步骤 5.3.3.6.2

将 $- \frac{6}{7}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{- 7}{2} \cdot \frac{- 6}{7} - 3$

解题步骤 5.3.3.6.3

从 $- 7$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{7 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 6}{7} - 3$

解题步骤 5.3.3.6.4

约去公因数。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{7 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 6}{7} - 3$

解题步骤 5.3.3.6.5

重写表达式。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{- 1}{2} \cdot - 6 - 3$

解题步骤 5.3.3.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.7.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 3)) - 3$

解题步骤 5.3.3.7.2

约去公因数。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 3) - 3$

解题步骤 5.3.3.7.3

重写表达式。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x - 1 \cdot - 3 - 3$

解题步骤 5.3.3.8

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + 3 - 3$

解题步骤 5.3.4

合并 $x + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (- \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}$ 为 $f (x) = - \frac{7}{2} x - 3$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{7} - \frac{6}{7}$

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