初级微积分示例

$f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$

解题步骤 1

将 $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ 写为等式。

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 1 + \sqrt{1 + y}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $1 + \sqrt{1 + y} = x$ 。

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

解题步骤 3.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + y}$ 重写成 ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

将 ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.2

化简。

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简 ${(x - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

解题步骤 3.4.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.2.1

运用分配律。

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

解题步骤 3.4.3.1.2.2

运用分配律。

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

解题步骤 3.4.3.1.2.3

运用分配律。

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 3.4.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

解题步骤 3.4.3.1.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

解题步骤 3.5

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

解题步骤 3.5.2

合并 $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$y = x^{2} - 2 x + 0$

解题步骤 3.5.2.2

将 $x^{2} - 2 x$ 和 $0$ 相加。

$y = x^{2} - 2 x$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ 是否为 $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x})$ 。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = {(1 + \sqrt{1 + x})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

将 ${(1 + \sqrt{1 + x})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ 。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = (1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1

运用分配律。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 (1 + \sqrt{1 + x}) + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.2.2

运用分配律。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.2.3

运用分配律。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.3.1.2

将 $\sqrt{1 + x}$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.3.1.3

将 $\sqrt{1 + x}$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.3.1.4

乘以 $\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}$ 。

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解题步骤 5.2.3.3.1.4.1

对 $\sqrt{1 + x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.3.1.4.2

对 $\sqrt{1 + x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.3.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.3.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.3.1.5

将 ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ 重写为 $1 + x$ 。

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解题步骤 5.2.3.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x}$ 重写成 ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.3.1.5.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.3.1.5.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.3.1.5.5

化简。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.3.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.3.3

将 $\sqrt{1 + x}$ 和 $\sqrt{1 + x}$ 相加。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

解题步骤 5.2.3.4

运用分配律。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{1 + x}$

解题步骤 5.2.3.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$

解题步骤 5.2.4

合并 $2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 0 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $0$ 和 $2 \sqrt{1 + x}$ 相加。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

解题步骤 5.2.4.3

从 $2 \sqrt{1 + x}$ 中减去 $2 \sqrt{1 + x}$ 。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.4

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (x^{2} - 2 x)$ 。

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 5.3.3

去掉圆括号。

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 5.3.4

化简每一项。

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解题步骤 5.3.4.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.3.4.1.1

重新整理项。

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 - 2 x + x^{2}}$

解题步骤 5.3.4.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 x + x^{2}}$

解题步骤 5.3.4.1.3

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

解题步骤 5.3.4.1.4

重写多项式。

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}}$

解题步骤 5.3.4.1.5

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.3.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + 1 - x$

解题步骤 5.3.5

化简表达式。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (x^{2} - 2 x) = 2 - x$

解题步骤 5.3.5.2

将 $2$ 和 $- x$ 重新排序。

$f (x^{2} - 2 x) = - x + 2$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ 为 $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

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