初级微积分示例

$x - 3 y + 4 z = - 3$ , $3 x + y - z = 4$ , $- 2 x + 2 y + 3 z = - 5$

解题步骤 1

选择两个方程并消去一个变量。在本例中，消去 $x$ 。

$x - 3 y + 4 z = - 3$

$3 x + y - z = 4$

解题步骤 2

从方程组中消去 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将每个方程乘以使 $x$ 的系数取反的数值。

$(- 3) \cdot (x - 3 y + 4 z) = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简左边。

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解题步骤 2.2.1.1

化简 $(- 3) \cdot (x - 3 y + 4 z)$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用分配律。

$- 3 x - 3 (- 3 y) - 3 (4 z) = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

解题步骤 2.2.1.1.2

化简。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$- 3 x + 9 y - 3 (4 z) = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$- 3 x + 9 y - 12 z = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

$- 3 x + 9 y - 12 z = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

$- 3 x + 9 y - 12 z = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

$- 3 x + 9 y - 12 z = (- 3) (- 3)$

$3 x + y - z = 4$

解题步骤 2.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$- 3 x + 9 y - 12 z = 9$

$3 x + y - z = 4$

$- 3 x + 9 y - 12 z = 9$

$3 x + y - z = 4$

$- 3 x + 9 y - 12 z = 9$

$3 x + y - z = 4$

解题步骤 2.3

将两个方程相加，从方程组中消去 $x$ 。

	$-$	$3$	$x$	$+$	$9$	$y$	$-$	$1$	$2$	$z$	$=$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$			$-$	$z$	$=$	$4$
				$1$	$0$	$y$	$-$	$1$	$3$	$z$	$=$	$1$	$3$

解题步骤 2.4

结果方程消去了 $x$ 。

$10 y - 13 z = 13$

解题步骤 3

选择另外两个方程并消去 $x$ 。

$3 x + y - z = 4$

$- 2 x + 2 y + 3 z = - 5$

解题步骤 4

从方程组中消去 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将每个方程乘以使 $x$ 的系数取反的数值。

$(2) \cdot (3 x + y - z) = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.1.1

化简 $(2) \cdot (3 x + y - z)$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

运用分配律。

$2 (3 x) + 2 y + 2 (- z) = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

解题步骤 4.2.1.1.2

化简。

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解题步骤 4.2.1.1.2.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x + 2 y + 2 (- z) = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

解题步骤 4.2.1.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$6 x + 2 y - 2 z = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = (2) (4)$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z) = (3) (- 5)$

解题步骤 4.2.3

化简左边。

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解题步骤 4.2.3.1

化简 $(3) \cdot (- 2 x + 2 y + 3 z)$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.1

运用分配律。

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$3 (- 2 x) + 3 (2 y) + 3 (3 z) = (3) (- 5)$

解题步骤 4.2.3.1.2

化简。

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解题步骤 4.2.3.1.2.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 3 (2 y) + 3 (3 z) = (3) (- 5)$

解题步骤 4.2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 3 (3 z) = (3) (- 5)$

解题步骤 4.2.3.1.2.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = (3) (- 5)$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = (3) (- 5)$

解题步骤 4.2.4

化简右边。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = - 15$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = - 15$

$6 x + 2 y - 2 z = 8$

$- 6 x + 6 y + 9 z = - 15$

解题步骤 4.3

将两个方程相加，从方程组中消去 $x$ 。

		$6$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$			$8$
$+$	$-$	$6$	$x$	$+$	$6$	$y$	$+$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$
					$8$	$y$	$+$	$7$	$z$	$=$		$-$	$7$

解题步骤 4.4

结果方程消去了 $x$ 。

$8 y + 7 z = - 7$

解题步骤 5

取结式方程同时消去另一个变量。在本例中，消去 $y$ 。

$10 y - 13 z = 13$

$8 y + 7 z = - 7$

解题步骤 6

从方程组中消去 $y$ 。

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解题步骤 6.1

将每个方程乘以使 $y$ 的系数取反的数值。

$(- 4) \cdot (10 y - 13 z) = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.1.1

化简 $(- 4) \cdot (10 y - 13 z)$ 。

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解题步骤 6.2.1.1.1

运用分配律。

$- 4 (10 y) - 4 (- 13 z) = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

解题步骤 6.2.1.1.2

乘。

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解题步骤 6.2.1.1.2.1

将 $10$ 乘以 $- 4$ 。

$- 40 y - 4 (- 13 z) = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

解题步骤 6.2.1.1.2.2

将 $- 13$ 乘以 $- 4$ 。

$- 40 y + 52 z = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = (- 4) (13)$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 4$ 乘以 $13$ 。

$- 40 y + 52 z = - 52$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$(5) \cdot (8 y + 7 z) = (5) (- 7)$

解题步骤 6.2.3

化简左边。

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解题步骤 6.2.3.1

化简 $(5) \cdot (8 y + 7 z)$ 。

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解题步骤 6.2.3.1.1

运用分配律。

$- 40 y + 52 z = - 52$

$5 (8 y) + 5 (7 z) = (5) (- 7)$

解题步骤 6.2.3.1.2

乘。

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解题步骤 6.2.3.1.2.1

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 5 (7 z) = (5) (- 7)$

解题步骤 6.2.3.1.2.2

将 $7$ 乘以 $5$ 。

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = (5) (- 7)$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = (5) (- 7)$

解题步骤 6.2.4

化简右边。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $5$ 乘以 $- 7$ 。

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = - 35$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = - 35$

$- 40 y + 52 z = - 52$

$40 y + 35 z = - 35$

解题步骤 6.3

将两个方程相加，从方程组中消去 $y$ 。

	$-$	$4$	$0$	$y$	$+$	$5$	$2$	$z$	$=$	$-$	$5$	$2$
$+$		$4$	$0$	$y$	$+$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$3$	$5$
						$8$	$7$	$z$	$=$	$-$	$8$	$7$

解题步骤 6.4

结果方程消去了 $y$ 。

$87 z = - 87$

解题步骤 6.5

将 $87 z = - 87$ 中的每一项除以 $87$ 并化简。

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解题步骤 6.5.1

将 $87 z = - 87$ 中的每一项都除以 $87$ 。

$\frac{87 z}{87} = \frac{- 87}{87}$

解题步骤 6.5.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.2.1

约去 $87$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{87 z}{87} = \frac{- 87}{87}$

解题步骤 6.5.2.1.2

用 $z$ 除以 $1$ 。

$z = \frac{- 87}{87}$

解题步骤 6.5.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.3.1

用 $- 87$ 除以 $87$ 。

$z = - 1$

解题步骤 7

将 $z$ 的值代入已消去 $x$ 的方程中并求其余变量。

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解题步骤 7.1

将 $z$ 的值代入已消去 $x$ 的方程中。

$10 y - 13 \cdot - 1 = 13$

解题步骤 7.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 7.2.1

将 $- 13$ 乘以 $- 1$ 。

$10 y + 13 = 13$

解题步骤 7.2.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.2.2.1

从等式两边同时减去 $13$ 。

$10 y = 13 - 13$

解题步骤 7.2.2.2

从 $13$ 中减去 $13$ 。

$10 y = 0$

解题步骤 7.2.3

将 $10 y = 0$ 中的每一项除以 $10$ 并化简。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $10 y = 0$ 中的每一项都除以 $10$ 。

$\frac{10 y}{10} = \frac{0}{10}$

解题步骤 7.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.3.2.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{10 y}{10} = \frac{0}{10}$

解题步骤 7.2.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{0}{10}$

解题步骤 7.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.3.1

用 $0$ 除以 $10$ 。

$y = 0$

解题步骤 8

将每一个已知变量的值代入其中一个初始方程中并求解最后一个变量。

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解题步骤 8.1

将每一个已知变量的值代入其中一个初始方程中。

$x - 3 \cdot 0 + 4 (- 1) = - 3$

解题步骤 8.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.2.1

化简 $x - 3 \cdot 0 + 4 (- 1)$ 。

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解题步骤 8.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1.1

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$x + 0 + 4 (- 1) = - 3$

解题步骤 8.2.1.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$x + 0 - 4 = - 3$

解题步骤 8.2.1.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$x - 4 = - 3$

解题步骤 8.2.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 8.2.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = - 3 + 4$

解题步骤 8.2.2.2

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$x = 1$

解题步骤 9

方程组的解可以表示为一个点。

$(1, 0, - 1)$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

点形式：

$(1, 0, - 1)$

方程形式：

$x = 1, y = 0, z = - 1$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$9$	$y$	$-$	$1$	$2$	$z$	$=$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$			$-$	$z$	$=$	$4$
				$1$	$0$	$y$	$-$	$1$	$3$	$z$	$=$	$1$	$3$

		$6$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$			$8$
$+$	$-$	$6$	$x$	$+$	$6$	$y$	$+$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$
					$8$	$y$	$+$	$7$	$z$	$=$		$-$	$7$

	$-$	$4$	$0$	$y$	$+$	$5$	$2$	$z$	$=$	$-$	$5$	$2$
$+$		$4$	$0$	$y$	$+$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$3$	$5$
						$8$	$7$	$z$	$=$	$-$	$8$	$7$

	$-$	$3$	$x$	$+$	$9$	$y$	$-$	$1$	$2$	$z$	$=$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$			$-$	$z$	$=$	$4$
				$1$	$0$	$y$	$-$	$1$	$3$	$z$	$=$	$1$	$3$

		$6$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$			$8$
$+$	$-$	$6$	$x$	$+$	$6$	$y$	$+$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$
					$8$	$y$	$+$	$7$	$z$	$=$		$-$	$7$

	$-$	$4$	$0$	$y$	$+$	$5$	$2$	$z$	$=$	$-$	$5$	$2$
$+$		$4$	$0$	$y$	$+$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$3$	$5$
						$8$	$7$	$z$	$=$	$-$	$8$	$7$

初级微积分 示例

初级微积分示例

	$-$	$3$	$x$	$+$	$9$	$y$	$-$	$1$	$2$	$z$	$=$	$9$
$+$		$3$	$x$	$+$		$y$			$-$	$z$	$=$	$4$
				$1$	$0$	$y$	$-$	$1$	$3$	$z$	$=$	$1$	$3$

		$6$	$x$	$+$	$2$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$			$8$
$+$	$-$	$6$	$x$	$+$	$6$	$y$	$+$	$9$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$
					$8$	$y$	$+$	$7$	$z$	$=$		$-$	$7$

	$-$	$4$	$0$	$y$	$+$	$5$	$2$	$z$	$=$	$-$	$5$	$2$
$+$		$4$	$0$	$y$	$+$	$3$	$5$	$z$	$=$	$-$	$3$	$5$
						$8$	$7$	$z$	$=$	$-$	$8$	$7$