初级微积分示例

$x^{2} + y^{2} = 25$ , $x + y = 8$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x = 8 - y$

$x^{2} + y^{2} = 25$

解题步骤 2

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $8 - y$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $8 - y$ 替换 $x^{2} + y^{2} = 25$ 中所有出现的 $x$ .

${(8 - y)}^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${(8 - y)}^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1.1

将 ${(8 - y)}^{2}$ 重写为 $(8 - y) (8 - y)$ 。

$(8 - y) (8 - y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

解题步骤 2.2.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(8 - y) (8 - y)$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

运用分配律。

$8 (8 - y) - y (8 - y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

运用分配律。

$8 \cdot 8 + 8 (- y) - y (8 - y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

解题步骤 2.2.1.1.2.3

运用分配律。

$8 \cdot 8 + 8 (- y) - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$8 \cdot 8 + 8 (- y) - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1.1

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$64 + 8 (- y) - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$64 - 8 y - y \cdot 8 - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.3

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$64 - 8 y - 8 y - y (- y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1.5.1

移动 $y$ 。

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 8 y - 8 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$64 - 8 y - 8 y + 1 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.7

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$64 - 8 y - 8 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 8 y - 8 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.2

从 $- 8 y$ 中减去 $8 y$ 。

$64 - 16 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + y^{2} + y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

解题步骤 2.2.1.2

将 $y^{2}$ 和 $y^{2}$ 相加。

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

$64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$

$x = 8 - y$

解题步骤 3

在 $64 - 16 y + 2 y^{2} = 25$ 中求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 3.1.1

从等式两边同时减去 $25$ 。

$64 - 16 y + 2 y^{2} - 25 = 0$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.1.2

从 $64$ 中减去 $25$ 。

$- 16 y + 2 y^{2} + 39 = 0$

$x = 8 - y$

$- 16 y + 2 y^{2} + 39 = 0$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.3

将 $a = 2$ 、 $b = - 16$ 和 $c = 39$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 39)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.1.1

对 $- 16$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot 39$ 。

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解题步骤 3.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.4.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $39$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.4.1.3

从 $256$ 中减去 $312$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.4.1.4

将 $- 56$ 重写为 $- 1 (56)$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (56)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.4.1.7

将 $56$ 重写为 $2^{2} \cdot 14$ 。

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解题步骤 3.4.1.7.1

从 $56$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.4.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{16 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.4.3

化简 $\frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$ 。

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.1.1

对 $- 16$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot 39$ 。

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解题步骤 3.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.5.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $39$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.5.1.3

从 $256$ 中减去 $312$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.5.1.4

将 $- 56$ 重写为 $- 1 (56)$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (56)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.5.1.7

将 $56$ 重写为 $2^{2} \cdot 14$ 。

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解题步骤 3.5.1.7.1

从 $56$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.5.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{16 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.5.3

化简 $\frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$ 。

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $- 16$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot 39$ 。

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解题步骤 3.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.6.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $39$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 312}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.6.1.3

从 $256$ 中减去 $312$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.6.1.4

将 $- 56$ 重写为 $- 1 (56)$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (56)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.6.1.7

将 $56$ 重写为 $2^{2} \cdot 14$ 。

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解题步骤 3.6.1.7.1

从 $56$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.6.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.6.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{16 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.6.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.6.3

化简 $\frac{16 \pm 2 i \sqrt{14}}{4}$ 。

$y = \frac{8 \pm i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 3.7

最终答案为两个解的组合。

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}, \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}, \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = 8 - y$

解题步骤 4

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $\frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$ 。

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解题步骤 4.1

使用 $\frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$ 替换 $x = 8 - y$ 中所有出现的 $y$ .

$x = 8 - (\frac{8 + i \sqrt{14}}{2})$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

解题步骤 4.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $8 - (\frac{8 + i \sqrt{14}}{2})$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

解题步骤 4.2.1.2

组合 $8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

解题步骤 4.2.1.3

在公分母上合并分子。

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

解题步骤 5

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $\frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$ 。

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解题步骤 5.1

使用 $\frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$ 替换 $x = 8 - y$ 中所有出现的 $y$ .

$x = 8 - (\frac{8 - i \sqrt{14}}{2})$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $8 - (\frac{8 - i \sqrt{14}}{2})$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

解题步骤 5.2.1.2

组合 $8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

解题步骤 5.2.1.3

在公分母上合并分子。

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}$

$y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

解题步骤 6

列出所有解。

$x = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}, y = \frac{8 + i \sqrt{14}}{2}$

$x = \frac{8 + \sqrt{14} i}{2}, y = \frac{8 - i \sqrt{14}}{2}$

解题步骤 7

初级微积分 示例

初级微积分示例