初级微积分示例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

化简分母。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$f (x) = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 2

求 $f (- x)$ 。

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解题步骤 2.1

通过代入 $- x$ 替换 $f (x)$ 中所有出现的 $x$ 来求 $f (- x)$ 。

$f (- x) = \frac{- x}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

解题步骤 2.2

将负号移到分数的前面。

$f (- x) = - \frac{x}{(- x + 1) (- x - 1)}$

解题步骤 2.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = - \frac{x}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

解题步骤 2.4

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$f (- x) = - \frac{x}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

解题步骤 2.5

从 $- (x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = - \frac{x}{- (x - 1) (- x - 1)}$

解题步骤 2.6

将 $- (x - 1)$ 重写为 $- 1 (x - 1)$ 。

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

解题步骤 2.7

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

解题步骤 2.8

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.9

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

解题步骤 2.10

化简表达式。

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解题步骤 2.10.1

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

解题步骤 2.10.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- x) = - \frac{x}{1 (x - 1) (x + 1)}$

解题步骤 2.10.3

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = - \frac{x}{(x - 1) (x + 1)}$

解题步骤 3

如果一个函数满足 $f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

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解题步骤 3.1

判断 $f (- x) = f (x)$ 是否成立。

解题步骤 3.2

因为 $- \frac{x}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ ，所以该函数不是偶函数。

该函数不是偶函数

解题步骤 4

如果一个函数满足 $f (- x) = - f (x)$ ，那么它是一个奇函数。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ 。

$- f (x) = - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 4.2

因为 $- \frac{x}{(x - 1) (x + 1)} = - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ ，所以该函数是奇函数。

该函数是奇函数

解题步骤 5

初级微积分 示例

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