初级微积分示例

$\sin (2 θ) = \cos (2 θ)$

解题步骤 1

将方程中的每一项都除以 $\cos (2 θ)$ 。

$\frac{\sin (2 θ)}{\cos (2 θ)} = \frac{\cos (2 θ)}{\cos (2 θ)}$

解题步骤 2

将 $\frac{\sin (2 θ)}{\cos (2 θ)}$ 转换成 $\tan (2 θ)$ 。

$\tan (2 θ) = \frac{\cos (2 θ)}{\cos (2 θ)}$

解题步骤 3

约去 $\cos (2 θ)$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

约去公因数。

$\tan (2 θ) = \frac{\cos (2 θ)}{\cos (2 θ)}$

解题步骤 3.2

重写表达式。

$\tan (2 θ) = 1$

解题步骤 4

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$2 θ = \arctan (1)$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$2 θ = \frac{π}{4}$

解题步骤 6

将 $2 θ = \frac{π}{4}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $2 θ = \frac{π}{4}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 6.3.2

乘以 $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$θ = \frac{π}{4 \cdot 2}$

解题步骤 6.3.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$θ = \frac{π}{8}$

解题步骤 7

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$2 θ = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 8

求解 $θ$ 。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 8.1.2

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$2 θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 8.1.3

在公分母上合并分子。

$2 θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 8.1.4

将 $π \cdot 4$ 和 $π$ 相加。

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解题步骤 8.1.4.1

将 $π$ 和 $4$ 重新排序。

$2 θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 8.1.4.2

将 $4 \cdot π$ 和 $π$ 相加。

$2 θ = \frac{5 \cdot π}{4}$

解题步骤 8.2

将 $2 θ = \frac{5 \cdot π}{4}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $2 θ = \frac{5 \cdot π}{4}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

解题步骤 8.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 8.2.3.2

乘以 $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 8.2.3.2.1

将 $\frac{5 π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$θ = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.3.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$θ = \frac{5 π}{8}$

解题步骤 9

求 $\tan (2 θ)$ 的周期。

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解题步骤 9.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 9.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 2 |}$

解题步骤 9.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 10

$\tan (2 θ)$ 函数的周期为 $\frac{π}{2}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{π}{2}$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

合并答案。

$θ = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

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