初级微积分示例

$f (x) = \frac{x}{x + 4}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{x}{x + 4}$ 写为等式。

$y = \frac{x}{x + 4}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{y}{y + 4}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{y}{y + 4} = x$ 。

$\frac{y}{y + 4} = x$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y + 4, 1$

解题步骤 3.2.2

去掉圆括号。

$y + 4, 1$

解题步骤 3.2.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y + 4$

解题步骤 3.3

将 $\frac{y}{y + 4} = x$ 中的每一项乘以 $y + 4$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{y}{y + 4} = x$ 中的每一项乘以 $y + 4$ 。

$\frac{y}{y + 4} (y + 4) = x (y + 4)$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $y + 4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{y + 4} (y + 4) = x (y + 4)$

解题步骤 3.3.2.1.2

重写表达式。

$y = x (y + 4)$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

运用分配律。

$y = x y + x \cdot 4$

解题步骤 3.3.3.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = x y + 4 x$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $x y$ 。

$y - x y = 4 x$

解题步骤 3.4.2

从 $y - x y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot 1 - x y = 4 x$

解题步骤 3.4.2.2

从 $- x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot 1 + y (- x) = 4 x$

解题步骤 3.4.2.3

从 $y \cdot 1 + y (- x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (1 - x) = 4 x$

解题步骤 3.4.3

将 $y (1 - x) = 4 x$ 中的每一项除以 $1 - x$ 并化简。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $y (1 - x) = 4 x$ 中的每一项都除以 $1 - x$ 。

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{4 x}{1 - x}$

解题步骤 3.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.3.2.1

约去 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{4 x}{1 - x}$

解题步骤 3.4.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{4 x}{1 - x}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{1 - x}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{1 - x}$ 是否为 $f (x) = \frac{x}{x + 4}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{x}{x + 4})$ 。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{4 (\frac{x}{x + 4})}{1 - (\frac{x}{x + 4})}$

解题步骤 5.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{x}{x + 4}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{1 - \frac{x}{x + 4}}$

解题步骤 5.2.4

化简分母。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{\frac{x + 4}{x + 4} - \frac{x}{x + 4}}$

解题步骤 5.2.4.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{\frac{x + 4 - x}{x + 4}}$

解题步骤 5.2.4.3

重新排序项。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{\frac{x - x + 4}{x + 4}}$

解题步骤 5.2.4.4

以因式分解的形式重写 $\frac{x - x + 4}{x + 4}$ 。

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解题步骤 5.2.4.4.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{\frac{0 + 4}{x + 4}}$

解题步骤 5.2.4.4.2

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{\frac{4}{x + 4}}$

解题步骤 5.2.5

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{4 x}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{4}$

解题步骤 5.2.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{4 (x)}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{4}$

解题步骤 5.2.6.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{4 x}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{4}$

解题步骤 5.2.6.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4)$

解题步骤 5.2.7

约去 $x + 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.7.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4)$

解题步骤 5.2.7.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{4 x}{1 - x})$ 。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{\frac{4 x}{1 - x}}{(\frac{4 x}{1 - x}) + 4}$

解题步骤 5.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 x}{1 - x} + 4}$

解题步骤 5.3.4

化简分母。

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解题步骤 5.3.4.1

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - x}{1 - x}$ 。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 x}{1 - x} + \frac{4 (1 - x)}{1 - x}}$

解题步骤 5.3.4.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 x + 4 (1 - x)}{1 - x}}$

解题步骤 5.3.4.3

重新排序项。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 x + 4 (1 - x)}{- x + 1}}$

解题步骤 5.3.4.4

以因式分解的形式重写 $\frac{4 x + 4 (1 - x)}{- x + 1}$ 。

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解题步骤 5.3.4.4.1

从 $4 x + 4 (1 - x)$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.3.4.4.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 (x) + 4 (1 - x)}{- x + 1}}$

解题步骤 5.3.4.4.1.2

从 $4 (x) + 4 (1 - x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 (x + 1 - x)}{- x + 1}}$

解题步骤 5.3.4.4.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 (0 + 1)}{- x + 1}}$

解题步骤 5.3.4.4.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{- x + 1}}$

解题步骤 5.3.4.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4}{- x + 1}}$

解题步骤 5.3.5

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot (1 (\frac{- x + 1}{4}))$

解题步骤 5.3.6

将 $\frac{- x + 1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{4}$

解题步骤 5.3.7

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 (x)}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{4}$

解题步骤 5.3.7.2

约去公因数。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{4}$

解题步骤 5.3.7.3

重写表达式。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (- x + 1)$

解题步骤 5.3.8

将 $\frac{x}{1 - x}$ 乘以 $- x + 1$ 。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{1 - x}$

解题步骤 5.3.9

约去 $- x + 1$ 和 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.9.1

重新排序项。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

解题步骤 5.3.9.2

约去公因数。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

解题步骤 5.3.9.3

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{1 - x}$ 为 $f (x) = \frac{x}{x + 4}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{1 - x}$

初级微积分 示例

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