初级微积分示例

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2$

解题步骤 1

将 $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2$ 。

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解题步骤 2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2$

解题步骤 2.1.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 2$

解题步骤 2.1.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 2$

解题步骤 2.1.3.3

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 - 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 2$

解题步骤 2.1.3.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$1 - 3 + 4 \cdot 1 - 2$

解题步骤 2.1.3.5

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$- 2 + 4 \cdot 1 - 2$

解题步骤 2.1.3.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 2 + 4 - 2$

解题步骤 2.1.3.7

将 $- 2$ 和 $4$ 相加。

$2 - 2$

解题步骤 2.1.3.8

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$0$

解题步骤 2.1.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2}{x - 1}$

解题步骤 2.1.5

用 $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$2$

解题步骤 2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$

解题步骤 2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

解题步骤 2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

解题步骤 2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x^{2} + 2 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$2 x$

解题步骤 2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$2 x$	-	$2$

解题步骤 2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$2 x$	-	$2$

解题步骤 2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

解题步骤 2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x - 2$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

解题步骤 2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

解题步骤 2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 2 x + 2$

解题步骤 2.1.6

将 $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2$ 书写为因数的集合。

$(x - 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.4

将 $x^{2} - 2 x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2} - 2 x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3

化简。

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解题步骤 2.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 2.4.2.3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ 。

$x = 1 \pm i$

解题步骤 2.4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + i, 1 - i$

解题步骤 2.5

最终解为使 $(x - 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, 1 + i, 1 - i$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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