初级微积分示例

$f (x) = {(x - 6)}^{2} {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 1

化简并按降序重新排序多项式以便使用笛卡尔法则。

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解题步骤 1.1

将 ${(x - 6)}^{2}$ 重写为 $(x - 6) (x - 6)$ 。

$(x - 6) (x - 6) {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 6) (x - 6)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$(x (x - 6) - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$(x^{2} - 6 x - 6 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 1.3.2

从 $- 6 x$ 中减去 $6 x$ 。

$(x^{2} - 12 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 1.4

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$(x^{2} - 12 x + 36) ((x + 2) (x + 2))$

解题步骤 1.5

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$(x^{2} - 12 x + 36) (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

解题步骤 1.5.3

运用分配律。

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.6.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.6.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

解题步骤 1.6.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$

解题步骤 1.7

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$ 。

$x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8

化简项。

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解题步骤 1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.8.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.8.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$x^{4} + 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.8.1.3.1

移动 $x$ 。

$x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.8.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} + 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.4

将 $4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.8.1.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.8.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x^{1}) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{2 + 1} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x \cdot x - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.8.1.7.1

移动 $x$ 。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 (x \cdot x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.7.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.8

将 $- 12$ 乘以 $4$ 。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.9

将 $4$ 乘以 $- 12$ 。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.10

将 $4$ 乘以 $36$ 。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 36 \cdot 4$

解题步骤 1.8.1.11

将 $36$ 乘以 $4$ 。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

解题步骤 1.8.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.8.2.1

从 $4 x^{3}$ 中减去 $12 x^{3}$ 。

$x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

解题步骤 1.8.2.2

从 $4 x^{2}$ 中减去 $48 x^{2}$ 。

$x^{4} - 8 x^{3} - 44 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

解题步骤 1.8.2.3

将 $- 44 x^{2}$ 和 $36 x^{2}$ 相加。

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x + 144 x + 144$

解题步骤 1.8.2.4

将 $- 48 x$ 和 $144 x$ 相加。

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

解题步骤 2

要求正根的可能个数，请观察系数的符号并计算系数符号从正变为负或从负变为正的次数。

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

解题步骤 3

因为从最高次项到最低次项有 $2$ 次符号的改变，所以最多有 $2$ 个正数根（笛卡尔正负号规则）。其他可能的正数根个数可以通过减去根的对数求得（例如 $(2 - 2)$ ）。

正根： $2$ 或 $0$

解题步骤 4

要求负根的可能个数，请用 $- x$ 替换 $x$ ，并重复比较符号。

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

解题步骤 5

化简每一项。

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解题步骤 5.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = {(- 1)}^{4} x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

解题步骤 5.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- x) = 1 x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

解题步骤 5.3

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

解题步骤 5.4

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = x^{4} - 8 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

解题步骤 5.5

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- x) = x^{4} - 8 (- x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

解题步骤 5.6

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

解题步骤 5.7

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 96 (- x) + 144$

解题步骤 5.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 (1 x^{2}) + 96 (- x) + 144$

解题步骤 5.9

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 (- x) + 144$

解题步骤 5.10

将 $- 1$ 乘以 $96$ 。

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 96 x + 144$

解题步骤 6

因为从最高次项到最低次项有 $2$ 次符号的改变，所以最多有 $2$ 个负数根（笛卡尔正负号规则）。其他可能的负数根个数可以通过减去根的对数求得（例如 $2 - 2$ ）。

负根： $2$ 或 $0$

解题步骤 7

正根的可能个数为 $2$ 或 $0$ ，负根的可能个数为 $2$ 或 $0$ 。

正根： $2$ 或 $0$

负根： $2$ 或 $0$

初级微积分 示例

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