初级微积分示例

$\ln (x) + \ln (x + 10) = 3$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (x (x + 10)) = 3$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\ln (x \cdot x + x \cdot 10) = 3$

解题步骤 1.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (x^{2} + x \cdot 10) = 3$

解题步骤 1.3.2

将 $10$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (x^{2} + 10 x) = 3$

解题步骤 2

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x^{2} + 10 x)} = e^{3}$

解题步骤 3

使用对数的定义将 $\ln (x^{2} + 10 x) = 3$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{3} = x^{2} + 10 x$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $x^{2} + 10 x = e^{3}$ 。

$x^{2} + 10 x = e^{3}$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $e^{3}$ 。

$x^{2} + 10 x - e^{3} = 0$

解题步骤 4.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.4

将 $a = 1$ 、 $b = 10$ 和 $c = - e^{3}$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{3}))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

化简分子。

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解题步骤 4.5.1.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.3

将 $100 + 4 e^{3}$ 重写为 $2^{2} (25 + e^{3})$ 。

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解题步骤 4.5.1.3.1

从 $100$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.3.2

从 $4 e^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{3})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.3.3

从 $4 (25) + 4 (e^{3})$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.3.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.4

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{3}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{3}}}{2}$

解题步骤 4.5.3

化简 $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{3}}}{2}$ 。

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{3}}$

解题步骤 4.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{3}}, - 5 - \sqrt{25 + e^{3}}$

解题步骤 5

排除不能使 $\ln (x) + \ln (x + 10) = 3$ 成立的解。

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{3}}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{3}}$

小数形式：

$x = 1.71457645 \dots$

初级微积分 示例

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