初级微积分示例

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x, x + 2, 2$

解题步骤 1.2

Since $x, x + 2, 2$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

求 $x, x + 2, 2$ 的最小公倍数的步骤：

1. 求数值部分 $1, 1, 2$ 的最小公倍数 (LCM)。

2. 求变量部分 $x^{1}$ 的最小公倍数 (LCM)。

3. 求复变量部分 $x + 2$ 的最小公倍数 (LCM)。

4. 把每个最小公倍数 (LCM) 相乘。

解题步骤 1.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 1.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 1.5

因为除了 $1$ 和 $2$ 之外， $2$ 没有其他因数。

$2$ 是一个质数

解题步骤 1.6

$1, 1, 2$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$2$

解题步骤 1.7

$x^{1}$ 的因式是 $x$ 本身。

$x^{1} = x$

$x$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.8

$x^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$x$

解题步骤 1.9

$x + 2$ 的因式是 $x + 2$ 本身。

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.10

$x + 2$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$x + 2$

解题步骤 1.11

某些数的最小公倍数 $LCM$ 是这些均为其因数的最小数。

$2 x (x + 2)$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2}$ 中的每一项乘以 $2 x (x + 2)$ 以消去分数。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2}$ 中的每一项乘以 $2 x (x + 2)$ 。

$\frac{1}{x} (2 x (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{1}{x} (x (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{2}{x} (x (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{x} (x (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.3.2

重写表达式。

$2 (x + 2) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.4

运用分配律。

$2 x + 2 \cdot 2 + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x + 4 + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$2 x + 4 + 2 \frac{1}{x + 2} (x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.7

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x + 2}$ 。

$2 x + 4 + \frac{2}{x + 2} (x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.8

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.8.1

从 $x (x + 2)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$2 x + 4 + \frac{2}{x + 2} ((x + 2) x) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.8.2

约去公因数。

$2 x + 4 + \frac{2}{x + 2} ((x + 2) x) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.8.3

重写表达式。

$2 x + 4 + 2 x = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

解题步骤 2.2.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$4 x + 4 = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1

从 $2 x (x + 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 x + 4 = \frac{1}{2} (2 (x (x + 2)))$

解题步骤 2.3.1.2

约去公因数。

$4 x + 4 = \frac{1}{2} (2 (x (x + 2)))$

解题步骤 2.3.1.3

重写表达式。

$4 x + 4 = x (x + 2)$

解题步骤 2.3.2

运用分配律。

$4 x + 4 = x \cdot x + x \cdot 2$

解题步骤 2.3.3

化简表达式。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 x + 4 = x^{2} + x \cdot 2$

解题步骤 2.3.3.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$4 x + 4 = x^{2} + 2 x$

解题步骤 3

求解方程。

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解题步骤 3.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$x^{2} + 2 x = 4 x + 4$

解题步骤 3.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$x^{2} + 2 x - 4 x = 4$

解题步骤 3.2.2

从 $2 x$ 中减去 $4 x$ 。

$x^{2} - 2 x = 4$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

解题步骤 3.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.5

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = - 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ 。

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解题步骤 3.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.3

将 $4$ 和 $16$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 3.6.1.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.6.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ 。

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

解题步骤 3.7

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

小数形式：

$x = 3.23606797 \dots, - 1.23606797 \dots$

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