初级微积分示例

$x^{\frac{4}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 6 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $x^{\frac{4}{3}}$ 重写为 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ 。

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 6 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = x^{\frac{2}{3}}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$u^{2} - 5 u + 6 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 5 u + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $6$ ，和为 $- 5$ 。

$- 3, - 2$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 3) (u - 2) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $x^{\frac{2}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{\frac{2}{3}} - 3) (x^{\frac{2}{3}} - 2) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{\frac{2}{3}} - 3 = 0$

$x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

解题步骤 3

将 $x^{\frac{2}{3}} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x^{\frac{2}{3}} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x^{\frac{2}{3}} - 3 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $x^{\frac{2}{3}} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$x^{\frac{2}{3}} = 3$

解题步骤 3.2.2

将方程两边同时进行 $\frac{3}{2}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3

化简左边。

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解题步骤 3.2.3.1

化简 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1.1

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.1.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.1.3.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.1.1.3.2

重写表达式。

$x^{1} = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.1.2

化简。

$x = \pm 3^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3^{\frac{3}{2}}, - 3^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4

将 $x^{\frac{2}{3}} - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x^{\frac{2}{3}} - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$x^{\frac{2}{3}} = 2$

解题步骤 4.2.2

将方程两边同时进行 $\frac{3}{2}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3

化简左边。

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解题步骤 4.2.3.1

化简 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.1

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3.1.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1.1.3.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3.1.1.3.2

重写表达式。

$x^{1} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3.1.2

化简。

$x = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 5

最终解为使 $(x^{\frac{2}{3}} - 3) (x^{\frac{2}{3}} - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3^{\frac{3}{2}}, - 3^{\frac{3}{2}}, 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 3^{\frac{3}{2}}, - 3^{\frac{3}{2}}, 2^{\frac{3}{2}}, - 2^{\frac{3}{2}}$

小数形式：

$x = 5.19615242 \dots, - 5.19615242 \dots, 2.82842712 \dots, - 2.82842712 \dots$

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