初级微积分示例

$x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 16 x - 192 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

重新组合项。

$- x^{3} + 4 x^{2} + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

解题步骤 1.2

从 $- x^{3} + 4 x^{2}$ 中分解出因数 $- x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $- x^{2}$ 。

$- x^{2} x + 4 x^{2} + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $- x^{2}$ 。

$- x^{2} x - x^{2} \cdot - 4 + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

解题步骤 1.2.3

从 $- x^{2} (x) - x^{2} (- 4)$ 中分解出因数 $- x^{2}$ 。

$- x^{2} (x - 4) + x^{4} - 16 x - 192 = 0$

解题步骤 1.3

使用有理根检验法因式分解 $x^{4} - 16 x - 192$ 。

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解题步骤 1.3.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.3.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

解题步骤 1.3.3

代入 $4$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $4$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $4$ 代入多项式。

$4^{4} - 16 \cdot 4 - 192$

解题步骤 1.3.3.2

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$256 - 16 \cdot 4 - 192$

解题步骤 1.3.3.3

将 $- 16$ 乘以 $4$ 。

$256 - 64 - 192$

解题步骤 1.3.3.4

从 $256$ 中减去 $64$ 。

$192 - 192$

解题步骤 1.3.3.5

从 $192$ 中减去 $192$ 。

$0$

解题步骤 1.3.4

因为 $4$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 4$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{4} - 16 x - 192}{x - 4}$

解题步骤 1.3.5

用 $x^{4} - 16 x - 192$ 除以 $x - 4$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

解题步骤 1.3.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

解题步骤 1.3.5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

解题步骤 1.3.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{4} - 4 x^{3}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

解题步骤 1.3.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

解题步骤 1.3.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

解题步骤 1.3.5.7

将被除数中的最高阶项 $4 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

解题步骤 1.3.5.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

解题步骤 1.3.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{3} - 16 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

解题步骤 1.3.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

解题步骤 1.3.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

解题步骤 1.3.5.12

将被除数中的最高阶项 $16 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

解题步骤 1.3.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

解题步骤 1.3.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $16 x^{2} - 64 x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

解题步骤 1.3.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

解题步骤 1.3.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

解题步骤 1.3.5.17

将被除数中的最高阶项 $48 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

解题步骤 1.3.5.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

$48 x$

$192$

解题步骤 1.3.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $48 x - 192$ 中的所有符号

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

$48 x$

$192$

解题步骤 1.3.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$48$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$192$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$16 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$48 x$

$192$

$48 x$

$192$

$0$

解题步骤 1.3.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48$

解题步骤 1.3.6

将 $x^{4} - 16 x - 192$ 书写为因数的集合。

$- x^{2} (x - 4) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

解题步骤 1.4

从 $- x^{2} (x - 4) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48)$ 中分解出因数 $x - 4$ 。

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解题步骤 1.4.1

从 $- x^{2} (x - 4)$ 中分解出因数 $x - 4$ 。

$(x - 4) (- x^{2}) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

解题步骤 1.4.2

从 $(x - 4) (- x^{2}) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48)$ 中分解出因数 $x - 4$ 。

$(x - 4) (- x^{2} + x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

解题步骤 1.5

将 $- x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$(x - 4) (x^{3} + 3 x^{2} + 16 x + 48) = 0$

解题步骤 1.6

因数。

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解题步骤 1.6.1

以因式分解的形式重写 $x^{3} + 3 x^{2} + 16 x + 48$ 。

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解题步骤 1.6.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.6.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x - 4) ((x^{3} + 3 x^{2}) + 16 x + 48) = 0$

解题步骤 1.6.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x - 4) (x^{2} (x + 3) + 16 (x + 3)) = 0$

解题步骤 1.6.1.2

通过因式分解出最大公因数 $x + 3$ 来因式分解多项式。

$(x - 4) ((x + 3) (x^{2} + 16)) = 0$

解题步骤 1.6.2

去掉多余的括号。

$(x - 4) (x + 3) (x^{2} + 16) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$x^{2} + 16 = 0$

解题步骤 3

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 4

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 5

将 $x^{2} + 16$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x^{2} + 16$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 16 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 16 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$x^{2} = - 16$

解题步骤 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

解题步骤 5.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 16}$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $- 16$ 重写为 $- 1 (16)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (16)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

解题步骤 5.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

解题步骤 5.2.3.4

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 5.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 4$

解题步骤 5.2.3.6

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 4 i$

解题步骤 5.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 4 i$

解题步骤 5.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 4 i$

解题步骤 5.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 4 i, - 4 i$

解题步骤 6

最终解为使 $(x - 4) (x + 3) (x^{2} + 16) = 0$ 成立的所有值。

$x = 4, - 3, 4 i, - 4 i$

初级微积分 示例

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