初级微积分示例

$5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3 = 0$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解 $5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ 。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 5$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 3, \pm 0.6$

解题步骤 1.3

代入 $0.6$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.6$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.3.1

将 $0.6$ 代入多项式。

$5 \cdot {0.6}^{3} + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

解题步骤 1.3.2

对 $0.6$ 进行 $3$ 次方运算。

$5 \cdot 0.216 + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

解题步骤 1.3.3

将 $5$ 乘以 $0.216$ 。

$1.08 + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

解题步骤 1.3.4

对 $0.6$ 进行 $2$ 次方运算。

$1.08 + 7 \cdot 0.36 - 11 \cdot 0.6 + 3$

解题步骤 1.3.5

将 $7$ 乘以 $0.36$ 。

$1.08 + 2.52 - 11 \cdot 0.6 + 3$

解题步骤 1.3.6

将 $1.08$ 和 $2.52$ 相加。

$3.6 - 11 \cdot 0.6 + 3$

解题步骤 1.3.7

将 $- 11$ 乘以 $0.6$ 。

$3.6 - 6.6 + 3$

解题步骤 1.3.8

从 $3.6$ 中减去 $6.6$ 。

$- 3 + 3$

解题步骤 1.3.9

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$0$

解题步骤 1.4

因为 $0.6$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $5 x - 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3}{5 x - 3}$

解题步骤 1.5

用 $5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ 除以 $5 x - 3$ 。

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解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$5 x$

$3$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$11 x$

$3$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项 $5 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $5 x$ 。

					$x^{2}$
	$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			+	$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $5 x^{3} - 3 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项 $10 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $5 x$ 。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$6 x$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $10 x^{2} - 6 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 5 x$ 除以除数中的最高阶项 $5 x$ 。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							-	$5 x$	+	$3$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 5 x + 3$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							+	$5 x$	-	$3$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							+	$5 x$	-	$3$
										$0$

解题步骤 1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + 2 x - 1$

解题步骤 1.6

将 $5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ 书写为因数的集合。

$(5 x - 3) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$5 x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

解题步骤 3

将 $5 x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $5 x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$5 x - 3 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $5 x - 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$5 x = 3$

解题步骤 3.2.2

将 $5 x = 3$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $5 x = 3$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{3}{5}$

解题步骤 4

将 $x^{2} + 2 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x^{2} + 2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 2$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3

化简。

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解题步骤 4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.2.3.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 5

最终解为使 $(5 x - 3) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{3}{5}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{3}{5}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

小数形式：

$x = 0.6, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$

初级微积分 示例

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