初级微积分示例

$\cos (\arcsin (\frac{x - h}{r}))$

解题步骤 1

使用指数书写表达式。

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解题步骤 1.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, \frac{x - h}{r})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{x - h}{r})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, \frac{x - h}{r})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (\frac{x - h}{r}))$ 为 $\sqrt{1 - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$ 。

$\sqrt{1 - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$

解题步骤 1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$

解题步骤 2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{x - h}{r}$ 。

$\sqrt{(1 + \frac{x - h}{r}) (1 - \frac{x - h}{r})}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{(\frac{r}{r} + \frac{x - h}{r}) (1 - \frac{x - h}{r})}$

解题步骤 3.2

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} (1 - \frac{x - h}{r})}$

解题步骤 3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} (\frac{r}{r} - \frac{x - h}{r})}$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - (x - h)}{r}}$

解题步骤 3.5

以因式分解的形式重写 $\frac{r - (x - h)}{r}$ 。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x - - h}{r}}$

解题步骤 3.5.2

乘以 $- - h$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x + 1 h}{r}}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $h$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x + h}{r}}$

解题步骤 4

将 $\frac{r + x - h}{r}$ 乘以 $\frac{r - x + h}{r}$ 。

$\sqrt{\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r \cdot r}}$

解题步骤 5

将 $r$ 乘以 $r$ 。

$\sqrt{\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r^{2}}}$

解题步骤 6

将 $\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{r})}^{2} ((r + x - h) (r - x + h))$ 。

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解题步骤 6.1

从 $(r + x - h) (r - x + h)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2}}}$

解题步骤 6.2

从 $r^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $r^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 6.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2} \cdot 1}$ 。

$\sqrt{{(\frac{1}{r})}^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}$

解题步骤 7

从根式下提出各项。

$\frac{1}{r} \sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{r}$ 和 $\sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}$ 。

$\frac{\sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}}{r}$

初级微积分 示例

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