初级微积分示例

$\frac{4 x^{2} + 2 x - 1}{x^{2} (x + 1)}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $C$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$

解题步骤 1.2

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x^{2} (x + 1)$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.3

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.4

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.4.2

用 $4 x^{2} + 2 x - 1$ 除以 $1$ 。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

约去公因数。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.5.1.2

用 $A (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A (x + 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A \cdot 1 + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.5.3

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.5.4

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.1

从 $B (x^{2} (x + 1))$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.5.4.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.5.4.2.3

约去公因数。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.5.4.2.4

重写表达式。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.5.4.2.5

用 $B (x (x + 1))$ 除以 $1$ 。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x (x + 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.5.5

运用分配律。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.5.6

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x^{2} + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.5.7

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x^{2} + x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.5.8

运用分配律。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.5.9

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.9.1

约去公因数。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{C (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 1.5.9.2

用 $(C) (x^{2})$ 除以 $1$ 。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + (C) (x^{2})$

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

解题步骤 1.6

化简表达式。

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解题步骤 1.6.1

将 $B$ 和 $x$ 重新排序。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

解题步骤 1.6.2

移动 $A$ 。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + B x^{2} + B x + C x^{2} + A$

解题步骤 1.6.3

移动 $B x$ 。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + B x^{2} + C x^{2} + B x + A$

解题步骤 1.6.4

移动 $A x$ 。

$4 x^{2} + 2 x - 1 = B x^{2} + C x^{2} + A x + B x + A$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$4 = B + C$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$2 = A + B$

解题步骤 2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 1 = A$

解题步骤 2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$4 = B + C$

$2 = A + B$

$- 1 = A$

$4 = B + C$

$2 = A + B$

$- 1 = A$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $A = - 1$ 。

$A = - 1$

$4 = B + C$

$2 = A + B$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- 1$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $- 1$ 替换 $2 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$2 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

去掉圆括号。

$2 = - 1 + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$2 = - 1 + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$2 = - 1 + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

解题步骤 3.3

在 $2 = - 1 + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $- 1 + B = 2$ 。

$- 1 + B = 2$

$A = - 1$

$4 = B + C$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$B = 2 + 1$

$A = - 1$

$4 = B + C$

解题步骤 3.3.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = B + C$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $3$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $3$ 替换 $4 = B + C$ 中所有出现的 $B$ .

$4 = (3) + C$

$B = 3$

$A = - 1$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

去掉圆括号。

$4 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

解题步骤 3.5

在 $4 = 3 + C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $3 + C = 4$ 。

$3 + C = 4$

$B = 3$

$A = - 1$

解题步骤 3.5.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$C = 4 - 3$

$B = 3$

$A = - 1$

解题步骤 3.5.2.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

解题步骤 3.6

求解方程组。

$C = 1 B = 3 A = - 1$

解题步骤 3.7

列出所有解。

$C = 1, B = 3, A = - 1$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x} + \frac{1}{x + 1}$

初级微积分 示例

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