初级微积分示例

$\frac{1}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

对分数进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 1}$

解题步骤 1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.5

约去 $x + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.6

约去 $x - 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

约去公因数。

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.6.2

重写表达式。

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.7

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1.1

约去公因数。

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.7.1.2

用 $(A) (x - 1)$ 除以 $1$ 。

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.7.2

运用分配律。

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.7.3

将 $- 1$ 移到 $A$ 的左侧。

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.7.4

将 $- 1 A$ 重写为 $- A$ 。

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.7.5

约去 $x - 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.5.1

约去公因数。

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.7.5.2

用 $(B) (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

解题步骤 1.7.6

运用分配律。

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

解题步骤 1.7.7

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$1 = A x - A + B x + B$

解题步骤 1.8

移动 $- A$ 。

$1 = A x + B x - A + B$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = - 1 A + B$

解题步骤 2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

解题步骤 3

求解方程组。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

在 $0 = A + B$ 中求解 $A$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $A + B = 0$ 。

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- B$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

使用 $- B$ 替换 $1 = - 1 A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

化简 $- 1 (- B) + B$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.1

乘以 $- 1 (- B)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $B$ 和 $B$ 相加。

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

解题步骤 3.3

在 $1 = 2 B$ 中求解 $B$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $2 B = 1$ 。

$2 B = 1$

$A = - B$

解题步骤 3.3.2

将 $2 B = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

将 $2 B = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $\frac{1}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

使用 $\frac{1}{2}$ 替换 $A = - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.5

列出所有解。

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

初级微积分 示例

初级微积分示例