初级微积分示例

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 2

将 $\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$ 乘以 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 。

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 3

合并。

$\frac{\tan (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 4.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ 。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 5.1.2

运用分配律。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 5.2

化简并合并同类项。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

解题步骤 6

使用勾股恒等式。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 7

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 7.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 7.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 8.1.1.2

重写表达式。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 8.1.2

从 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 8.1.2.1

从 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 8.1.2.2

乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 8.1.2.3

从 $\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 8.1.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)})}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 8.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (x) \frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 8.2

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 8.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 8.4

合并。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 8.5

约去 $\sin (x)$ 和 ${\sin (x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.5.1

从 $\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 8.5.2

约去公因数。

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解题步骤 8.5.2.1

从 $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

解题步骤 8.5.2.2

约去公因数。

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

解题步骤 8.5.2.3

重写表达式。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 8.6

将 $1 + \cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 9

现在，考虑等式的右边。

$\csc (x) (1 + \sec (x))$

解题步骤 10

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 10.1

对 $\csc (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \sec (x))$

解题步骤 10.2

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 11.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 11.3

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 12

加上分数。

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解题步骤 12.1

要将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 12.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 12.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 13

重新排序项。

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 14

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$ 是一个恒等式

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