初级微积分示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{4} (2 x + 1)}$

解题步骤 1

约去公因数。

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解题步骤 1.1

从 $x^{4} (2 x + 1)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{2} (x^{2} (2 x + 1))}$

解题步骤 1.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{2} (x^{2} (2 x + 1))}$

解题步骤 1.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{x^{2} (2 x + 1)}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1}$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1}$

解题步骤 2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{2} x + x^{2}}$

解题步骤 2.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

移动 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2}}$

解题步骤 2.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{1 + 2} + x^{2}}$

解题步骤 2.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{3} + x^{2}}$

解题步骤 3

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{- 4 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{- 4 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 4.1.2

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

解题步骤 4.2.2

约去 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}}}$

解题步骤 4.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x}}$

解题步骤 4.2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x}}$

解题步骤 4.2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 4.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 6.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 6.3

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{2 + 0}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

约去 $0 - 1 \cdot 4$ 和 $2 + 0$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1

将 $0$ 重写为 $- 1 (0)$ 。

$\frac{- 1 (0) - 1 \cdot 4}{2 + 0}$

解题步骤 8.1.2

从 $- 1 \cdot 4$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (0) - 1 (4)}{2 + 0}$

解题步骤 8.1.3

从 $- 1 (0) - 1 (4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (0 + 4)}{2 + 0}$

解题步骤 8.1.4

从 $- 1 (0 + 4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 + 0}$

解题步骤 8.1.5

约去公因数。

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解题步骤 8.1.5.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 (1) + 0}$

解题步骤 8.1.5.2

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot 1 + 2 \cdot 0}$

解题步骤 8.1.5.3

从 $2 \cdot 1 + 2 \cdot 0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot (1 + 0)}$

解题步骤 8.1.5.4

约去公因数。

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot (1 + 0)}$

解题步骤 8.1.5.5

重写表达式。

$\frac{- 1 (0 + 2)}{1 + 0}$

解题步骤 8.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot 2}{1 + 0}$

解题步骤 8.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot 2}{1}$

解题步骤 8.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2}{1}$

解题步骤 8.5

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$- 2$

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