初级微积分示例

$\sum_{k = 1}^{8} 4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

解题步骤 1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{k}$ 和 $a_{k + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

解题步骤 2.2.2

约去 ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ 和 ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ 中分解出因数 ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ 。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

解题步骤 2.2.2.2.4

用 ${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ 除以 $1$ 。

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

解题步骤 2.2.3

将 $k$ 和 $0$ 相加。

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

解题步骤 2.2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.2.4.1

运用分配律。

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

解题步骤 2.2.5

从 $k$ 中减去 $k$ 。

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

解题步骤 2.2.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

解题步骤 2.2.7

化简。

$r = \frac{2}{3}$

解题步骤 3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ 以替换 $k$ 。

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{0}$

解题步骤 3.2.2

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$a = 4 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

解题步骤 3.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = 4 \frac{1}{3^{0}}$

解题步骤 3.2.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = 4 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.2.5

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.5.1

约去公因数。

$a = 4 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.2.5.2

重写表达式。

$a = 4 \cdot 1$

解题步骤 3.2.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$a = 4$

解题步骤 4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$4 \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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解题步骤 5.1.1

将 $\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}})$

解题步骤 5.1.2

合并。

$4 \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

解题步骤 5.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

将 $- \frac{2}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

解题步骤 5.3.2

约去公因数。

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

解题步骤 5.3.3

重写表达式。

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

解题步骤 5.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

解题步骤 5.4.2

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$4 \frac{3 + 3 (- \frac{2^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 2}$

解题步骤 5.4.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $- \frac{2^{8}}{3^{8}}$ 中前置负号移到分子中。

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 2}$

解题步骤 5.4.3.2

从 $3^{8}$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

解题步骤 5.4.3.3

约去公因数。

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

解题步骤 5.4.3.4

重写表达式。

$4 \frac{3 + \frac{- 2^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

解题步骤 5.4.4

对 $2$ 进行 $8$ 次方运算。

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

解题步骤 5.4.5

对 $3$ 进行 $7$ 次方运算。

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

解题步骤 5.4.6

将 $- 1$ 乘以 $256$ 。

$4 \frac{3 + \frac{- 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

解题步骤 5.4.7

将负号移到分数的前面。

$4 \frac{3 - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

解题步骤 5.4.8

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2187}{2187}$ 。

$4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

解题步骤 5.4.9

组合 $3$ 和 $\frac{2187}{2187}$ 。

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

解题步骤 5.4.10

在公分母上合并分子。

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

解题步骤 5.4.11

化简分子。

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解题步骤 5.4.11.1

将 $3$ 乘以 $2187$ 。

$4 \frac{\frac{6561 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

解题步骤 5.4.11.2

从 $6561$ 中减去 $256$ 。

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

解题步骤 5.5

化简分母。

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解题步骤 5.5.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 - 2}$

解题步骤 5.5.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{1}$

解题步骤 5.6

用 $\frac{6305}{2187}$ 除以 $1$ 。

$4 (\frac{6305}{2187})$

解题步骤 5.7

乘以 $4 (\frac{6305}{2187})$ 。

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解题步骤 5.7.1

组合 $4$ 和 $\frac{6305}{2187}$ 。

$\frac{4 \cdot 6305}{2187}$

解题步骤 5.7.2

将 $4$ 乘以 $6305$ 。

$\frac{25220}{2187}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{25220}{2187}$

小数形式：

$11.53177869 \dots$

带分数形式：

$11 \frac{1163}{2187}$

初级微积分 示例

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