初级微积分示例

$y = \frac{1}{8} x^{2}$

解题步骤 1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{8}$

解题步骤 1.2

对 $\frac{x^{2}}{8}$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = \frac{1}{8}$

$b = 0$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.2.1

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.2

重写表达式。

$d = \frac{0}{\frac{1}{8}}$

解题步骤 1.2.3.2.2

将分子乘以分母的倒数。

$d = 0 \cdot 8$

解题步骤 1.2.3.2.3

将 $0$ 乘以 $8$ 。

$d = 0$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{8}}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

约去 $4$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 (1)}{8}}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.3.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3.2.2

约去公因数。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3.2.3

重写表达式。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$e = 0 - (0 \cdot 2)$

解题步骤 1.2.4.2.1.5

乘以 $- (0 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1.5.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$e = 0 - 0$

解题步骤 1.2.4.2.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e = 0 + 0$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$e = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $\frac{1}{8} x^{2}$ 。

$\frac{1}{8} x^{2}$

解题步骤 1.3

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = \frac{1}{8} x^{2}$

解题步骤 2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = \frac{1}{8}$

$h = 0$

$k = 0$

解题步骤 3

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

解题步骤 5.3.2

约去 $4$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

解题步骤 5.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$1 \cdot 2$

解题步骤 5.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6

求焦点。

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解题步骤 6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(0, 2)$

解题步骤 7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = 0$

解题步骤 8

求准线。

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解题步骤 8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = - 2$

解题步骤 9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(0, 0)$

焦点： $(0, 2)$

对称轴： $x = 0$

准线： $y = - 2$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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