初级微积分示例

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - k} \cdot {(\cos (x))}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 0} \cdot \cos^{0} (x) + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 1} \cdot \cos^{1} (x) + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 2} \cdot \cos^{2} (x)$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

解题步骤 4

化简多项式结果。

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解题步骤 4.1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1.1

从 $1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

从 $1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x)$ 中分解出因数 $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ 。

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

解题步骤 4.1.1.2

从 $2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x)$ 中分解出因数 $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ 。

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

解题步骤 4.1.1.3

从 $1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ 。

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$

解题步骤 4.1.1.4

从 $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$ 中分解出因数 $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ 。

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$

解题步骤 4.1.1.5

从 $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ 。

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x) + 1 \cdot \cos^{2} (x))$

解题步骤 4.1.2

移动 $1 \cdot \cos^{2} (x)$ 。

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 1 \cdot \cos^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

解题步骤 4.1.3

从 $1 \cdot \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $1$ 。

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x)) + 1 \cdot \cos^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

解题步骤 4.1.4

从 $1 \cdot \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $1$ 。

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x)) + 1 (\cos^{2} (x)) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

解题步骤 4.1.5

从 $1 (\sin^{2} (x)) + 1 (\cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $1$ 。

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

解题步骤 4.2

使用勾股恒等式。

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

解题步骤 4.3

化简项。

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解题步骤 4.3.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 \cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

解题步骤 4.3.2

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $\cos^{0} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

解题步骤 4.3.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

解题步骤 4.3.2.3

将 $1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$

解题步骤 4.3.3.2

使用正弦倍角公式。

$1 + \sin (2 x)$

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