初级微积分示例

$\sum_{n = 3}^{8} 15 - 4 n$

解题步骤 1

分解总和使 $n$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{n = 3}^{8} 15 - 4 n = \sum_{n = 1}^{8} 15 - 4 n - \sum_{n = 1}^{2} 15 - 4 n$

解题步骤 2

计算 $\sum_{n = 1}^{8} 15 - 4 n$ 。

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解题步骤 2.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{n = 1}^{8} 15 - 4 n = \sum_{n = 1}^{8} 15 - 4 \sum_{n = 1}^{8} n$

解题步骤 2.2

计算 $\sum_{n = 1}^{8} 15$ 。

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解题步骤 2.2.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 2.2.2

将值代入公式中。

$(15) (8)$

解题步骤 2.2.3

将 $15$ 乘以 $8$ 。

$120$

解题步骤 2.3

计算 $4 \sum_{n = 1}^{8} n$ 。

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解题步骤 2.3.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 2.3.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- 4) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

化简表达式。

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解题步骤 2.3.3.1.1

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$- 4 \frac{8 \cdot 9}{2}$

解题步骤 2.3.3.1.2

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$- 4 (\frac{72}{2})$

解题步骤 2.3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 2) \frac{72}{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去公因数。

$2 \cdot - 2 \frac{72}{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3

重写表达式。

$- 2 \cdot 72$

解题步骤 2.3.3.3

将 $- 2$ 乘以 $72$ 。

$- 144$

解题步骤 2.4

将求和的总和相加。

$120 - 144$

解题步骤 2.5

从 $120$ 中减去 $144$ 。

$- 24$

解题步骤 3

计算 $\sum_{n = 1}^{2} 15 - 4 n$ 。

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解题步骤 3.1

展开 $n$ 每个取值的序列。

$15 - 4 \cdot 1 + 15 - 4 \cdot 2$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$15 - 4 + 15 - 4 \cdot 2$

解题步骤 3.2.2

从 $15$ 中减去 $4$ 。

$11 + 15 - 4 \cdot 2$

解题步骤 3.2.3

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$11 + 15 - 8$

解题步骤 3.2.4

从 $15$ 中减去 $8$ 。

$11 + 7$

解题步骤 3.2.5

将 $11$ 和 $7$ 相加。

$18$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$- 24 - 18$

解题步骤 5

从 $- 24$ 中减去 $18$ 。

$- 42$

初级微积分 示例

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