初级微积分示例

$\frac{1}{x (x^{2} + 1)}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.2

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (x^{2} + 1)$ 。

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.4

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

约去公因数。

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.1.2

用 $A (x^{2} + 1)$ 除以 $1$ 。

$1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.3

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.4

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.1

约去公因数。

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.4.2

用 $(B x + C) (x)$ 除以 $1$ 。

$1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

解题步骤 1.5.5

运用分配律。

$1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

解题步骤 1.5.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.6.1

移动 $x$ 。

$1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

解题步骤 1.5.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

解题步骤 1.6

移动 $A$ 。

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = C$

解题步骤 2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A$

解题步骤 2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $C = 0$ 。

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

解题步骤 3.2

将方程重写为 $A = 1$ 。

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

解题步骤 3.3

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用 $1$ 替换 $0 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

去掉圆括号。

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

解题步骤 3.4

在 $0 = 1 + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $1 + B = 0$ 。

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

解题步骤 3.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

解题步骤 3.5

求解方程组。

$B = - 1 A = 1 C = 0$

解题步骤 3.6

列出所有解。

$B = - 1, A = 1, C = 0$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{1}{x} + \frac{- 1 x + 0}{x^{2} + 1}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

去掉圆括号。

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

解题步骤 5.2

将 $(- 1) \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 5.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{x^{2} + 1}$

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