初级微积分示例

$\frac{x + 2}{x - 1} - \frac{2}{x + 6} - \frac{14}{x^{2} + 5 x - 6}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 5 x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $5$ 。

$- 1, 6$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x + 2}{x - 1} - \frac{2}{x + 6} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{x + 2}{x - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 6}{x + 6}$ 。

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{x + 6} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{2}{x + 6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{x + 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x - 1) (x + 6)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{x + 2}{x - 1}$ 乘以 $\frac{x + 6}{x + 6}$ 。

$\frac{(x + 2) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} - \frac{2}{x + 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{2}{x + 6}$ 乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{(x + 2) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} - \frac{2 (x - 1)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x - 1) (x + 6)$ 的因式。

$\frac{(x + 2) (x + 6)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{2 (x - 1)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

在公分母上合并分子。

$\frac{(x + 2) (x + 6) - 2 (x - 1)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

解题步骤 5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{(x + 2) (x + 6) - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 6

化简每一项。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 6)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{x (x + 6) + 2 (x + 6) - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6 + 2 (x + 6) - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $6$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x^{2} + 6 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 6 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{x^{2} + 6 x + 2 x + 12 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 6.2.2

将 $6 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 8 x + 12 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 8 x + 12 - 2 x - 2 \cdot - 1 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 6.4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 8 x + 12 - 2 x + 2 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

从 $8 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{x^{2} + 6 x + 12 + 2 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 7.2

将 $12$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{2} + 6 x + 14 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 7.3

合并 $x^{2} + 6 x + 14 - 14$ 中相反的项。

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解题步骤 7.3.1

从 $14$ 中减去 $14$ 。

$\frac{x^{2} + 6 x + 0}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 7.3.2

将 $x^{2} + 6 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} + 6 x}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 7.4

从 $x^{2} + 6 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.4.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x + 6 x}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 7.4.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 7.4.3

从 $x \cdot x + x \cdot 6$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x + 6)}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 7.5

约去 $x + 6$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.1

约去公因数。

$\frac{x (x + 6)}{(x + 6) (x - 1)}$

解题步骤 7.5.2

重写表达式。

$\frac{x}{x - 1}$

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