初级微积分示例

3^{2 x} + 3^{x} - 6 = 0

$3^{2 x} + 3^{x} - 6 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将

3^{2 x}

$3^{2 x}$ 重写为

{(3^{x})}^{2}

${(3^{x})}^{2}$ 。

{(3^{x})}^{2} + 3^{x} - 6 = 0

${(3^{x})}^{2} + 3^{x} - 6 = 0$

解题步骤 1.2

使

u = 3^{x}

$u = 3^{x}$ 。用

u

$u$ 代入替换所有出现的

3^{x}

$3^{x}$ 。

u^{2} + u - 6 = 0

$u^{2} + u - 6 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对

u^{2} + u - 6

$u^{2} + u - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

c

$c$ ，且和为

b

$b$ 。在本例中，其积即为

- 6

$- 6$ ，和为

1

$1$ 。

- 2, 3

$- 2, 3$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

(u - 2) (u + 3) = 0

$(u - 2) (u + 3) = 0$

(u - 2) (u + 3) = 0

$(u - 2) (u + 3) = 0$

解题步骤 1.4

使用

3^{x}

$3^{x}$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

(3^{x} - 2) (3^{x} + 3) = 0

$(3^{x} - 2) (3^{x} + 3) = 0$

(3^{x} - 2) (3^{x} + 3) = 0

$(3^{x} - 2) (3^{x} + 3) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

3^{x} - 2 = 0

$3^{x} - 2 = 0$

3^{x} + 3 = 0

$3^{x} + 3 = 0$

解题步骤 3

将

3^{x} - 2

$3^{x} - 2$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 3.1

将

3^{x} - 2

$3^{x} - 2$ 设为等于

0

$0$ 。

3^{x} - 2 = 0

$3^{x} - 2 = 0$

解题步骤 3.2

求解

x

$x$ 的

3^{x} - 2 = 0

$3^{x} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上

2

$2$ 。

3^{x} = 2

$3^{x} = 2$

解题步骤 3.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

\ln (3^{x}) = \ln (2)

$\ln (3^{x}) = \ln (2)$

解题步骤 3.2.3

通过将

x

$x$ 移到对数外来展开

\ln (3^{x})

$\ln (3^{x})$ 。

x \ln (3) = \ln (2)

$x \ln (3) = \ln (2)$

解题步骤 3.2.4

将

x \ln (3) = \ln (2)

$x \ln (3) = \ln (2)$ 中的每一项除以

\ln (3)

$\ln (3)$ 并化简。

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解题步骤 3.2.4.1

将

x \ln (3) = \ln (2)

$x \ln (3) = \ln (2)$ 中的每一项都除以

\ln (3)

$\ln (3)$ 。

\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

解题步骤 3.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.4.2.1

约去

\ln (3)

$\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.2.1.1

约去公因数。

\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

解题步骤 3.2.4.2.1.2

用

x

$x$ 除以

1

$1$ 。

x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

解题步骤 4

将

3^{x} + 3

$3^{x} + 3$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 4.1

将

3^{x} + 3

$3^{x} + 3$ 设为等于

0

$0$ 。

3^{x} + 3 = 0

$3^{x} + 3 = 0$

解题步骤 4.2

求解

x

$x$ 的

3^{x} + 3 = 0

$3^{x} + 3 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去

3

$3$ 。

3^{x} = - 3

$3^{x} = - 3$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

\ln (3^{x}) = \ln (- 3)

$\ln (3^{x}) = \ln (- 3)$

解题步骤 4.2.3

因为

\ln (- 3)

$\ln (- 3)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 4.2.4

3^{x} = - 3

$3^{x} = - 3$ 无解

无解

解题步骤 5

最终解为使

(3^{x} - 2) (3^{x} + 3) = 0

$(3^{x} - 2) (3^{x} + 3) = 0$ 成立的所有值。

x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

小数形式：

x = 0.63092975 \dots

$x = 0.63092975 \dots$

初级微积分 示例

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