初级微积分示例

e^{2 x} - e^{x} - 12 = 0

$e^{2 x} - e^{x} - 12 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将

e^{2 x}

$e^{2 x}$ 重写为

{(e^{x})}^{2}

${(e^{x})}^{2}$ 。

{(e^{x})}^{2} - e^{x} - 12 = 0

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 12 = 0$

解题步骤 1.2

使

u = e^{x}

$u = e^{x}$ 。用

u

$u$ 代入替换所有出现的

e^{x}

$e^{x}$ 。

u^{2} - u - 12 = 0

$u^{2} - u - 12 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对

u^{2} - u - 12

$u^{2} - u - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

c

$c$ ，且和为

b

$b$ 。在本例中，其积即为

- 12

$- 12$ ，和为

- 1

$- 1$ 。

- 4, 3

$- 4, 3$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

(u - 4) (u + 3) = 0

$(u - 4) (u + 3) = 0$

(u - 4) (u + 3) = 0

$(u - 4) (u + 3) = 0$

解题步骤 1.4

使用

e^{x}

$e^{x}$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

(e^{x} - 4) (e^{x} + 3) = 0

$(e^{x} - 4) (e^{x} + 3) = 0$

(e^{x} - 4) (e^{x} + 3) = 0

$(e^{x} - 4) (e^{x} + 3) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

e^{x} - 4 = 0

$e^{x} - 4 = 0$

e^{x} + 3 = 0

$e^{x} + 3 = 0$

解题步骤 3

将

e^{x} - 4

$e^{x} - 4$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 3.1

将

e^{x} - 4

$e^{x} - 4$ 设为等于

0

$0$ 。

e^{x} - 4 = 0

$e^{x} - 4 = 0$

解题步骤 3.2

求解

x

$x$ 的

e^{x} - 4 = 0

$e^{x} - 4 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上

4

$4$ 。

e^{x} = 4

$e^{x} = 4$

解题步骤 3.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

\ln (e^{x}) = \ln (4)

$\ln (e^{x}) = \ln (4)$

解题步骤 3.2.3

展开左边。

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解题步骤 3.2.3.1

通过将

x

$x$ 移到对数外来展开

\ln (e^{x})

$\ln (e^{x})$ 。

x \ln (e) = \ln (4)

$x \ln (e) = \ln (4)$

解题步骤 3.2.3.2

e

$e$ 的自然对数为

1

$1$ 。

x \cdot 1 = \ln (4)

$x \cdot 1 = \ln (4)$

解题步骤 3.2.3.3

将

x

$x$ 乘以

1

$1$ 。

x = \ln (4)

$x = \ln (4)$

x = \ln (4)

$x = \ln (4)$

x = \ln (4)

$x = \ln (4)$

x = \ln (4)

$x = \ln (4)$

解题步骤 4

将

e^{x} + 3

$e^{x} + 3$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 4.1

将

e^{x} + 3

$e^{x} + 3$ 设为等于

0

$0$ 。

e^{x} + 3 = 0

$e^{x} + 3 = 0$

解题步骤 4.2

求解

x

$x$ 的

e^{x} + 3 = 0

$e^{x} + 3 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去

3

$3$ 。

e^{x} = - 3

$e^{x} = - 3$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

\ln (e^{x}) = \ln (- 3)

$\ln (e^{x}) = \ln (- 3)$

解题步骤 4.2.3

因为

\ln (- 3)

$\ln (- 3)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 4.2.4

e^{x} = - 3

$e^{x} = - 3$ 无解

无解

无解

无解

解题步骤 5

最终解为使

(e^{x} - 4) (e^{x} + 3) = 0

$(e^{x} - 4) (e^{x} + 3) = 0$ 成立的所有值。

x = \ln (4)

$x = \ln (4)$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

x = \ln (4)

$x = \ln (4)$

小数形式：

x = 1.38629436 \dots

$x = 1.38629436 \dots$

[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$