初级微积分示例

\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} = 4

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} = 4$

解题步骤 1

两边同时乘以

3

$3$ 。

\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

解题步骤 2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

约去

3

$3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1

约去公因数。

\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

解题步骤 2.1.1.2

重写表达式。

2^{x} - 2^{- x} = 4 \cdot 3

$2^{x} - 2^{- x} = 4 \cdot 3$

2^{x} - 2^{- x} = 4 \cdot 3

$2^{x} - 2^{- x} = 4 \cdot 3$

2^{x} - 2^{- x} = 4 \cdot 3

$2^{x} - 2^{- x} = 4 \cdot 3$

解题步骤 2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

将

4

$4$ 乘以

3

$3$ 。

2^{x} - 2^{- x} = 12

$2^{x} - 2^{- x} = 12$

2^{x} - 2^{- x} = 12

$2^{x} - 2^{- x} = 12$

2^{x} - 2^{- x} = 12

$2^{x} - 2^{- x} = 12$

解题步骤 3

求解

x

$x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将

2^{- x}

$2^{- x}$ 重写为乘方形式。

2^{x} - {(2^{x})}^{- 1} = 12

$2^{x} - {(2^{x})}^{- 1} = 12$

解题步骤 3.2

代入

u

$u$ 替换

2^{x}

$2^{x}$ 。

u - u^{- 1} = 12

$u - u^{- 1} = 12$

解题步骤 3.3

使用负指数规则

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

u - \frac{1}{u} = 12

$u - \frac{1}{u} = 12$

解题步骤 3.4

求解

u

$u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

1, u, 1

$1, u, 1$

解题步骤 3.4.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

u

$u$

u

$u$

解题步骤 3.4.2

将

u - \frac{1}{u} = 12

$u - \frac{1}{u} = 12$ 中的每一项乘以

u

$u$ 以消去分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

将

u - \frac{1}{u} = 12

$u - \frac{1}{u} = 12$ 中的每一项乘以

u

$u$ 。

u \cdot u - \frac{1}{u} u = 12 u

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 12 u$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.2.1.1

将

u

$u$ 乘以

u

$u$ 。

u^{2} - \frac{1}{u} u = 12 u

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 12 u$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

约去

u

$u$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.2.1.2.1

将

- \frac{1}{u}

$- \frac{1}{u}$ 中前置负号移到分子中。

u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 12 u

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 12 u$

解题步骤 3.4.2.2.1.2.2

约去公因数。

u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 12 u

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 12 u$

解题步骤 3.4.2.2.1.2.3

重写表达式。

u^{2} - 1 = 12 u

$u^{2} - 1 = 12 u$

u^{2} - 1 = 12 u

$u^{2} - 1 = 12 u$

u^{2} - 1 = 12 u

$u^{2} - 1 = 12 u$

u^{2} - 1 = 12 u

$u^{2} - 1 = 12 u$

u^{2} - 1 = 12 u

$u^{2} - 1 = 12 u$

解题步骤 3.4.3

求解方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.1

从等式两边同时减去

12 u

$12 u$ 。

u^{2} - 1 - 12 u = 0

$u^{2} - 1 - 12 u = 0$

解题步骤 3.4.3.2

使用二次公式求解。

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.4.3.3

将

a = 1

$a = 1$ 、

b = - 12

$b = - 12$ 和

c = - 1

$c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解

u

$u$ 。

\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.3.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.4.1.1

对

- 12

$- 12$ 进行

2

$2$ 次方运算。

u = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.3.4.1.2

乘以

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.4.1.2.1

将

- 4

$- 4$ 乘以

1

$1$ 。

u = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.3.4.1.2.2

将

- 4

$- 4$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

u = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 4}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 4}}{2 \cdot 1}$

u = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 4}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.3.4.1.3

将

144

$144$ 和

4

$4$ 相加。

u = \frac{12 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.3.4.1.4

将

148

$148$ 重写为

2^{2} \cdot 37

$2^{2} \cdot 37$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.4.1.4.1

从

148

$148$ 中分解出因数

4

$4$ 。

u = \frac{12 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.3.4.1.4.2

将

4

$4$ 重写为

2^{2}

$2^{2}$ 。

u = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

u = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.3.4.1.5

从根式下提出各项。

u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}

$u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.3.4.2

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}

$u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$

解题步骤 3.4.3.4.3

化简

\frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$ 。

u = 6 \pm \sqrt{37}

$u = 6 \pm \sqrt{37}$

u = 6 \pm \sqrt{37}

$u = 6 \pm \sqrt{37}$

解题步骤 3.4.3.5

最终答案为两个解的组合。

u = 6 + \sqrt{37}, 6 - \sqrt{37}

$u = 6 + \sqrt{37}, 6 - \sqrt{37}$

u = 6 + \sqrt{37}, 6 - \sqrt{37}

$u = 6 + \sqrt{37}, 6 - \sqrt{37}$

u = 6 + \sqrt{37}, 6 - \sqrt{37}

$u = 6 + \sqrt{37}, 6 - \sqrt{37}$

解题步骤 3.5

代入

6 + \sqrt{37}

$6 + \sqrt{37}$ 替换

u = 2^{x}

$u = 2^{x}$ 中的

u

$u$ 。

6 + \sqrt{37} = 2^{x}

$6 + \sqrt{37} = 2^{x}$

解题步骤 3.6

求解

6 + \sqrt{37} = 2^{x}

$6 + \sqrt{37} = 2^{x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

将方程重写为

2^{x} = 6 + \sqrt{37}

$2^{x} = 6 + \sqrt{37}$ 。

2^{x} = 6 + \sqrt{37}

$2^{x} = 6 + \sqrt{37}$

解题步骤 3.6.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

\ln (2^{x}) = \ln (6 + \sqrt{37})

$\ln (2^{x}) = \ln (6 + \sqrt{37})$

解题步骤 3.6.3

通过将

x

$x$ 移到对数外来展开

\ln (2^{x})

$\ln (2^{x})$ 。

x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})

$x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$

解题步骤 3.6.4

将

x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})

$x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$ 中的每一项除以

\ln (2)

$\ln (2)$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.4.1

将

x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})

$x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$ 中的每一项都除以

\ln (2)

$\ln (2)$ 。

\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

解题步骤 3.6.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.4.2.1

约去

\ln (2)

$\ln (2)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.4.2.1.1

约去公因数。

\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

解题步骤 3.6.4.2.1.2

用

x

$x$ 除以

1

$1$ 。

x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

解题步骤 3.7

代入

6 - \sqrt{37}

$6 - \sqrt{37}$ 替换

u = 2^{x}

$u = 2^{x}$ 中的

u

$u$ 。

6 - \sqrt{37} = 2^{x}

$6 - \sqrt{37} = 2^{x}$

解题步骤 3.8

求解

6 - \sqrt{37} = 2^{x}

$6 - \sqrt{37} = 2^{x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.8.1

将方程重写为

2^{x} = 6 - \sqrt{37}

$2^{x} = 6 - \sqrt{37}$ 。

2^{x} = 6 - \sqrt{37}

$2^{x} = 6 - \sqrt{37}$

解题步骤 3.8.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

\ln (2^{x}) = \ln (6 - \sqrt{37})

$\ln (2^{x}) = \ln (6 - \sqrt{37})$

解题步骤 3.8.3

因为

\ln (6 - \sqrt{37})

$\ln (6 - \sqrt{37})$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 3.8.4

2^{x} = 6 - \sqrt{37}

$2^{x} = 6 - \sqrt{37}$ 无解

无解

解题步骤 3.9

列出使方程成立的解。

x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

小数形式：

x = 3.59487843 \dots

$x = 3.59487843 \dots$

初级微积分 示例

初级微积分示例