初级微积分示例

\frac{4}{x (x - 1)}

$\frac{4}{x (x - 1)}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置

B

$B$ 上放置单个变量。

\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

解题步骤 1.2

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为

x (x - 1)

$x (x - 1)$ 。

\frac{4 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}

$\frac{4 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.3

约去

x

$x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{4 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.4

约去

$x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.4.2

用

$4$ 除以

$1$ 。

$4 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1

约去

$x$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

约去公因数。

$4 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.5.1.2

用

$A (x - 1)$ 除以

$1$ 。

$4 = A (x - 1) + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$4 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.5.3

将

$- 1$ 移到

$A$ 的左侧。

$4 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.5.4

将

$- 1 A$ 重写为

$- A$ 。

$4 = A x - A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.5.5

约去

$x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.1

约去公因数。

$4 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 1.5.5.2

用

$(B) (x)$ 除以

$1$ 。

$4 = A x - A + (B) (x)$

$4 = A x - A + B x$

解题步骤 1.6

移动

$- A$ 。

$4 = A x + B x - A$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边

$x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 2.2

使方程两边不含

$x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$4 = - 1 A$

解题步骤 2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$4 = - 1 A$

$0 = A + B$

$4 = - 1 A$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在

$4 = - 1 A$ 中求解

$A$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为

$- 1 A = 4$ 。

$- 1 A = 4$

$0 = A + B$

解题步骤 3.1.2

将

$- 1 A = 4$ 中的每一项除以

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.1.2.1

将

$- 1 A = 4$ 中的每一项都除以

$- 1$ 。

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = A + B$

解题步骤 3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{A}{1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = A + B$

解题步骤 3.1.2.2.2

用

$A$ 除以

$1$ 。

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = A + B$

解题步骤 3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.2.3.1

用

$4$ 除以

$- 1$ 。

$A = - 4$

$0 = A + B$

$A = - 4$

$0 = A + B$

$A = - 4$

$0 = A + B$

$A = - 4$

$0 = A + B$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的

$A$ 替换成

$- 4$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用

$- 4$ 替换

$0 = A + B$ 中所有出现的

$A$ .

$0 = (- 4) + B$

$A = - 4$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

去掉圆括号。

$0 = - 4 + B$

$A = - 4$

$0 = - 4 + B$

$A = - 4$

$0 = - 4 + B$

$A = - 4$

解题步骤 3.3

在

$0 = - 4 + B$ 中求解

$B$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为

$- 4 + B = 0$ 。

$- 4 + B = 0$

$A = - 4$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上

$4$ 。

$B = 4$

$A = - 4$

$B = 4$

$A = - 4$

解题步骤 3.4

求解方程组。

$B = 4 A = - 4$

解题步骤 3.5

列出所有解。

$B = 4, A = - 4$

解题步骤 4

将

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的

$A$ 和

$B$ 的值。

$- \frac{4}{x} + \frac{4}{x - 1}$

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