初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 3 x - 4}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 3 x - 4}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x - 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 4$ ，和为 $- 3$ 。

$- 4, 1$

解题步骤 2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 4) (x + 1) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 2.4

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.5

最终解为使 $(x - 4) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 4, - 1$

解题步骤 3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 4) \cup (4, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 1, 4}$

解题步骤 4

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${y | y \in ℝ}$

解题步骤 5

确定定义域和值域。

定义域： $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 4) \cup (4, \infty), {x | x \neq - 1, 4}$

值域： $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

解题步骤 6

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