初级微积分示例

$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 12$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = 2$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 - 3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 12$

解题步骤 4.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 12$

解题步骤 4.1.3

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$8 - 12 - 4 \cdot 2 + 12$

解题步骤 4.1.4

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$8 - 12 - 8 + 12$

解题步骤 4.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

从 $8$ 中减去 $12$ 。

$- 4 - 8 + 12$

解题步骤 4.2.2

从 $- 4$ 中减去 $8$ 。

$- 12 + 12$

解题步骤 4.2.3

将 $- 12$ 和 $12$ 相加。

$0$

解题步骤 5

因为 $2$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x - 2$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12}{x - 2}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$

解题步骤 6.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$

	$1$

解题步骤 6.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(2)$ 并将 $(2)$ 的结果置于被除数 $(- 3)$ 的下一项下方。

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$
	$1$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$
	$1$	$- 1$

解题步骤 6.5

将结果 $(- 1)$ 中的最新项乘以除数 $(2)$ 并将 $(- 2)$ 的结果置于被除数 $(- 4)$ 的下一项下方。

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$	$- 2$
	$1$	$- 1$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$	$- 2$
	$1$	$- 1$	$- 6$

解题步骤 6.7

将结果 $(- 6)$ 中的最新项乘以除数 $(2)$ 并将 $(- 12)$ 的结果置于被除数 $(12)$ 的下一项下方。

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$	$- 2$	$- 12$
	$1$	$- 1$	$- 6$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$	$- 2$	$- 12$
	$1$	$- 1$	$- 6$	$0$

解题步骤 6.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{2} + - 1 x - 6$

解题步骤 6.10

化简商多项式。

$x^{2} - x - 6$

解题步骤 7

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 6$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 7.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 2) + (x - 3) (x + 2)$

$(x - 2) (x - 3) (x + 2)$

解题步骤 8

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x^{3} - 3 x^{2}) - 4 x + 12 = 0$

解题步骤 8.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3) = 0$

解题步骤 8.2

通过因式分解出最大公因数 $x - 3$ 来因式分解多项式。

$(x - 3) (x^{2} - 4) = 0$

解题步骤 8.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(x - 3) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

解题步骤 8.4

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$(x - 3) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

解题步骤 8.4.2

去掉多余的括号。

$(x - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 10

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 10.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 11

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 11.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 12

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 12.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 13

最终解为使 $(x - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, - 2, 2$

解题步骤 14

初级微积分 示例

初级微积分示例