初级微积分示例

cos (2 x) - cos (x) = 0

$\cos (2 x) - \cos (x) = 0$

解题步骤 1

使用倍角公式把

cos (2 x)

$\cos (2 x)$ 转换为

2 {cos}^{2} (x) - 1

$2 \cos^{2} (x) - 1$ 。

2 {cos}^{2} (x) - 1 - cos (x) = 0

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (x) = 0$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

重新排序项。

2 {cos}^{2} (x) - cos (x) - 1 = 0

$2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.2

对于

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为

a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2

$a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 并且它们的和为

b = - 1

$b = - 1$ 。

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解题步骤 2.2.1

从

- cos (x)

$- \cos (x)$ 中分解出因数

- 1

$- 1$ 。

2 {cos}^{2} (x) - cos (x) - 1 = 0

$2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.2.2

把

- 1

$- 1$ 重写为

1

$1$ 加

- 2

$- 2$

2 {cos}^{2} (x) + (1 - 2) cos (x) - 1 = 0

$2 \cos^{2} (x) + (1 - 2) \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

2 {cos}^{2} (x) + 1 cos (x) - 2 cos (x) - 1 = 0

$2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.2.4

将

cos (x)

$\cos (x)$ 乘以

1

$1$ 。

2 {cos}^{2} (x) + cos (x) - 2 cos (x) - 1 = 0

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

2 {cos}^{2} (x) + cos (x) - 2 cos (x) - 1 = 0

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

2 {cos}^{2} (x) + cos (x) - 2 cos (x) - 1 = 0

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

cos (x) (2 cos (x) + 1) - (2 cos (x) + 1) = 0

$\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1) = 0$

cos (x) (2 cos (x) + 1) - (2 cos (x) + 1) = 0

$\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.4

通过因式分解出最大公因数

2 cos (x) + 1

$2 \cos (x) + 1$ 来因式分解多项式。

(2 cos (x) + 1) (cos (x) - 1) = 0

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

(2 cos (x) + 1) (cos (x) - 1) = 0

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

2 cos (x) + 1 = 0

$2 \cos (x) + 1 = 0$

cos (x) - 1 = 0

$\cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 4

将

2 cos (x) + 1

$2 \cos (x) + 1$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 4.1

将

2 cos (x) + 1

$2 \cos (x) + 1$ 设为等于

0

$0$ 。

2 cos (x) + 1 = 0

$2 \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解

x

$x$ 的

2 cos (x) + 1 = 0

$2 \cos (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去

1

$1$ 。

2 cos (x) = - 1

$2 \cos (x) = - 1$

解题步骤 4.2.2

将

2 cos (x) = - 1

$2 \cos (x) = - 1$ 中的每一项除以

2

$2$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将

2 cos (x) = - 1

$2 \cos (x) = - 1$ 中的每一项都除以

2

$2$ 。

\frac{2 cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用

$\cos (x)$ 除以

$1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的

$x$ 。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.2.4

化简右边。

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解题步骤 4.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为

$\frac{2 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4.2.5

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从

$2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4.2.6

化简

$2 π - \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

要将

$2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.6.2.1

组合

$2 π$ 和

$\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 4.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.6.3.1

将

$3$ 乘以

$2$ 。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 4.2.6.3.2

从

$6 π$ 中减去

$2 π$ 。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 4.2.7

求

$\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.7.1

函数的周期可利用

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.7.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.7.4

用

$2 π$ 除以

$1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 5

将

$\cos (x) - 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 5.1

将

$\cos (x) - 1$ 设为等于

$0$ 。

$\cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解

$x$ 的

$\cos (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上

$1$ 。

$\cos (x) = 1$

解题步骤 5.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的

$x$ 。

$x = \arccos (1)$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

$\arccos (1)$ 的准确值为

$0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.2.4

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从

$2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 5.2.5

从

$2 π$ 中减去

$0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 5.2.6

求

$\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.6.1

函数的周期可利用

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.6.4

用

$2 π$ 除以

$1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.7

$\cos (x)$ 函数的周期为

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 6

最终解为使

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 7

合并答案。

$x = \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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