初级微积分示例

log (8 x) - log (1 + \sqrt{x}) = 2

$\log (8 x) - \log (1 + \sqrt{x}) = 2$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数的商数性质，即

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

log (\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}}) = 2

$\log (\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}}) = 2$

解题步骤 1.2

将

\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}}

$\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}}$ 乘以

\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}

$\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}$ 。

log (\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}} \cdot \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}) = 2

$\log (\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}} \cdot \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}) = 2$

解题步骤 1.3

将

\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}}

$\frac{8 x}{1 + \sqrt{x}}$ 乘以

\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}

$\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}$ 。

log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{(1 + \sqrt{x}) (1 - \sqrt{x})}) = 2

$\log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{(1 + \sqrt{x}) (1 - \sqrt{x})}) = 2$

解题步骤 1.4

使用 FOIL 方法来展开分母。

log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{1 - \sqrt{x} + \sqrt{x} - {\sqrt{x}}^{2}}) = 2

$\log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{1 - \sqrt{x} + \sqrt{x} - {\sqrt{x}}^{2}}) = 2$

解题步骤 1.5

化简。

log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}) = 2

$\log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}) = 2$

log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}) = 2

$\log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}) = 2$

解题步骤 2

利用对数的定义将

log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}) = 2

$\log (\frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}) = 2$ 重写成指数形式。如果

x

$x$ 和

b

$b$ 都是正实数且

b

$b$

\neq

$\neq$

1

$1$ ，则

{log}_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ 等价于

b^{y} = x

$b^{y} = x$ 。

10^{2} = \frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}

$10^{2} = \frac{8 x (1 - \sqrt{x})}{- x + 1}$

解题步骤 3

交叉相乘以去掉分数。

8 x (1 - \sqrt{x}) = 10^{2} (- x + 1)

$8 x (1 - \sqrt{x}) = 10^{2} (- x + 1)$

解题步骤 4

化简

10^{2} (- x + 1)

$10^{2} (- x + 1)$ 。

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解题步骤 4.1

对

10

$10$ 进行

2

$2$ 次方运算。

8 x (1 - \sqrt{x}) = 100 (- x + 1)

$8 x (1 - \sqrt{x}) = 100 (- x + 1)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

8 x (1 - \sqrt{x}) = 100 (- x) + 100 \cdot 1

$8 x (1 - \sqrt{x}) = 100 (- x) + 100 \cdot 1$

解题步骤 4.3

乘。

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解题步骤 4.3.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

100

$100$ 。

8 x (1 - \sqrt{x}) = - 100 x + 100 \cdot 1

$8 x (1 - \sqrt{x}) = - 100 x + 100 \cdot 1$

解题步骤 4.3.2

将

100

$100$ 乘以

1

$1$ 。

8 x (1 - \sqrt{x}) = - 100 x + 100

$8 x (1 - \sqrt{x}) = - 100 x + 100$

8 x (1 - \sqrt{x}) = - 100 x + 100

$8 x (1 - \sqrt{x}) = - 100 x + 100$

8 x (1 - \sqrt{x}) = - 100 x + 100

$8 x (1 - \sqrt{x}) = - 100 x + 100$

解题步骤 5

将所有包含

x

$x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.1

在等式两边都加上

100 x

$100 x$ 。

8 x (1 - \sqrt{x}) + 100 x = 100

$8 x (1 - \sqrt{x}) + 100 x = 100$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

8 x \cdot 1 + 8 x (- \sqrt{x}) + 100 x = 100

$8 x \cdot 1 + 8 x (- \sqrt{x}) + 100 x = 100$

解题步骤 5.2.2

将

8

$8$ 乘以

1

$1$ 。

8 x + 8 x (- \sqrt{x}) + 100 x = 100

$8 x + 8 x (- \sqrt{x}) + 100 x = 100$

解题步骤 5.2.3

将

- 1

$- 1$ 乘以

8

$8$ 。

8 x - 8 x \sqrt{x} + 100 x = 100

$8 x - 8 x \sqrt{x} + 100 x = 100$

8 x - 8 x \sqrt{x} + 100 x = 100

$8 x - 8 x \sqrt{x} + 100 x = 100$

解题步骤 5.3

将

8 x

$8 x$ 和

100 x

$100 x$ 相加。

- 8 x \sqrt{x} + 108 x = 100

$- 8 x \sqrt{x} + 108 x = 100$

- 8 x \sqrt{x} + 108 x = 100

$- 8 x \sqrt{x} + 108 x = 100$

解题步骤 6

从

- 8 x \sqrt{x} + 108 x

$- 8 x \sqrt{x} + 108 x$ 中分解出因数

4 x

$4 x$ 。

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解题步骤 6.1

从

- 8 x \sqrt{x}

$- 8 x \sqrt{x}$ 中分解出因数

4 x

$4 x$ 。

4 x (- 2 \sqrt{x}) + 108 x = 100

$4 x (- 2 \sqrt{x}) + 108 x = 100$

解题步骤 6.2

从

108 x

$108 x$ 中分解出因数

4 x

$4 x$ 。

4 x (- 2 \sqrt{x}) + 4 x (27) = 100

$4 x (- 2 \sqrt{x}) + 4 x (27) = 100$

解题步骤 6.3

从

4 x (- 2 \sqrt{x}) + 4 x (27)

$4 x (- 2 \sqrt{x}) + 4 x (27)$ 中分解出因数

4 x

$4 x$ 。

4 x (- 2 \sqrt{x} + 27) = 100

$4 x (- 2 \sqrt{x} + 27) = 100$

4 x (- 2 \sqrt{x} + 27) = 100

$4 x (- 2 \sqrt{x} + 27) = 100$

解题步骤 7

将

4 x (- 2 \sqrt{x} + 27) = 100

$4 x (- 2 \sqrt{x} + 27) = 100$ 中的每一项除以

4

$4$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将

4 x (- 2 \sqrt{x} + 27) = 100

$4 x (- 2 \sqrt{x} + 27) = 100$ 中的每一项都除以

4

$4$ 。

\frac{4 x (- 2 \sqrt{x} + 27)}{4} = \frac{100}{4}

$\frac{4 x (- 2 \sqrt{x} + 27)}{4} = \frac{100}{4}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去

4

$4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x (- 2 \sqrt{x} + 27)}{4} = \frac{100}{4}$

解题步骤 7.2.1.2

用

$x (- 2 \sqrt{x} + 27)$ 除以

$1$ 。

$x (- 2 \sqrt{x} + 27) = \frac{100}{4}$

解题步骤 7.2.2

运用分配律。

$x (- 2 \sqrt{x}) + x \cdot 27 = \frac{100}{4}$

解题步骤 7.2.3

重新排序。

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解题步骤 7.2.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$- 2 x \sqrt{x} + x \cdot 27 = \frac{100}{4}$

解题步骤 7.2.3.2

将

$27$ 移到

$x$ 的左侧。

$- 2 x \sqrt{x} + 27 x = \frac{100}{4}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

用

$100$ 除以

$4$ 。

$- 2 x \sqrt{x} + 27 x = 25$

解题步骤 8

从等式两边同时减去

$27 x$ 。

$- 2 x \sqrt{x} = 25 - 27 x$

解题步骤 9

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- 2 x \sqrt{x})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

解题步骤 10

化简方程的两边。

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解题步骤 10.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{x}$ 重写成

$x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

解题步骤 10.2

化简左边。

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解题步骤 10.2.1

化简

${(- 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 10.2.1.1

通过指数相加将

$x$ 乘以

$x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.2.1.1.1

移动

$x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- 2 (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

解题步骤 10.2.1.1.2

将

$x^{\frac{1}{2}}$ 乘以

$x$ 。

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解题步骤 10.2.1.1.2.1

对

$x$ 进行

$1$ 次方运算。

${(- 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

解题步骤 10.2.1.1.2.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(- 2 x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

解题步骤 10.2.1.1.3

将

$1$ 写成具有公分母的分数。

${(- 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

解题步骤 10.2.1.1.4

在公分母上合并分子。

${(- 2 x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

解题步骤 10.2.1.1.5

将

$1$ 和

$2$ 相加。

${(- 2 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

解题步骤 10.2.1.2

对

$- 2 x^{\frac{3}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 2)}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

解题步骤 10.2.1.3

对

$- 2$ 进行

$2$ 次方运算。

$4 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

解题步骤 10.2.1.4

将

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

解题步骤 10.2.1.4.2

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.4.2.1

约去公因数。

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(25 - 27 x)}^{2}$

解题步骤 10.2.1.4.2.2

重写表达式。

$4 x^{3} = {(25 - 27 x)}^{2}$

解题步骤 10.3

化简右边。

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解题步骤 10.3.1

化简

${(25 - 27 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 10.3.1.1

将

${(25 - 27 x)}^{2}$ 重写为

$(25 - 27 x) (25 - 27 x)$ 。

$4 x^{3} = (25 - 27 x) (25 - 27 x)$

解题步骤 10.3.1.2

使用 FOIL 方法展开

$(25 - 27 x) (25 - 27 x)$ 。

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解题步骤 10.3.1.2.1

运用分配律。

$4 x^{3} = 25 (25 - 27 x) - 27 x (25 - 27 x)$

解题步骤 10.3.1.2.2

运用分配律。

$4 x^{3} = 25 \cdot 25 + 25 (- 27 x) - 27 x (25 - 27 x)$

解题步骤 10.3.1.2.3

运用分配律。

$4 x^{3} = 25 \cdot 25 + 25 (- 27 x) - 27 x \cdot 25 - 27 x (- 27 x)$

解题步骤 10.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 10.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 10.3.1.3.1.1

将

$25$ 乘以

$25$ 。

$4 x^{3} = 625 + 25 (- 27 x) - 27 x \cdot 25 - 27 x (- 27 x)$

解题步骤 10.3.1.3.1.2

将

$- 27$ 乘以

$25$ 。

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 27 x \cdot 25 - 27 x (- 27 x)$

解题步骤 10.3.1.3.1.3

将

$25$ 乘以

$- 27$ 。

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 675 x - 27 x (- 27 x)$

解题步骤 10.3.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 675 x - 27 \cdot - 27 x \cdot x$

解题步骤 10.3.1.3.1.5

通过指数相加将

$x$ 乘以

$x$ 。

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解题步骤 10.3.1.3.1.5.1

移动

$x$ 。

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 675 x - 27 \cdot - 27 (x \cdot x)$

解题步骤 10.3.1.3.1.5.2

将

$x$ 乘以

$x$ 。

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 675 x - 27 \cdot - 27 x^{2}$

解题步骤 10.3.1.3.1.6

将

$- 27$ 乘以

$- 27$ 。

$4 x^{3} = 625 - 675 x - 675 x + 729 x^{2}$

解题步骤 10.3.1.3.2

从

$- 675 x$ 中减去

$675 x$ 。

$4 x^{3} = 625 - 1350 x + 729 x^{2}$

解题步骤 11

求解

$x$ 。

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解题步骤 11.1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 11.1.1

从等式两边同时减去

$625$ 。

$4 x^{3} - 625 = - 1350 x + 729 x^{2}$

解题步骤 11.1.2

在等式两边都加上

$1350 x$ 。

$4 x^{3} - 625 + 1350 x = 729 x^{2}$

解题步骤 11.1.3

从等式两边同时减去

$729 x^{2}$ 。

$4 x^{3} - 625 + 1350 x - 729 x^{2} = 0$

解题步骤 11.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 11.2.1

重新排序项。

$4 x^{3} - 729 x^{2} + 1350 x - 625 = 0$

解题步骤 11.2.2

使用有理根检验法因式分解

$4 x^{3} - 729 x^{2} + 1350 x - 625$ 。

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解题步骤 11.2.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为

$\frac{p}{q}$ 的形式，其中

$p$ 为常数的因数，而

$q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 625, \pm 5, \pm 125, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 11.2.2.2

求

$\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 625, \pm 156.25, \pm 312.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5, \pm 125, \pm 31.25, \pm 62.5, \pm 25, \pm 6.25, \pm 12.5$

解题步骤 11.2.2.3

代入

$1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于

$0$ ，所以

$1$ 是多项式的根。

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解题步骤 11.2.2.3.1

将

$1$ 代入多项式。

$4 \cdot 1^{3} - 729 \cdot 1^{2} + 1350 \cdot 1 - 625$

解题步骤 11.2.2.3.2

对

$1$ 进行

$3$ 次方运算。

$4 \cdot 1 - 729 \cdot 1^{2} + 1350 \cdot 1 - 625$

解题步骤 11.2.2.3.3

将

$4$ 乘以

$1$ 。

$4 - 729 \cdot 1^{2} + 1350 \cdot 1 - 625$

解题步骤 11.2.2.3.4

对

$1$ 进行

$2$ 次方运算。

$4 - 729 \cdot 1 + 1350 \cdot 1 - 625$

解题步骤 11.2.2.3.5

将

$- 729$ 乘以

$1$ 。

$4 - 729 + 1350 \cdot 1 - 625$

解题步骤 11.2.2.3.6

从

$4$ 中减去

$729$ 。

$- 725 + 1350 \cdot 1 - 625$

解题步骤 11.2.2.3.7

将

$1350$ 乘以

$1$ 。

$- 725 + 1350 - 625$

解题步骤 11.2.2.3.8

将

$- 725$ 和

$1350$ 相加。

$625 - 625$

解题步骤 11.2.2.3.9

从

$625$ 中减去

$625$ 。

$0$

解题步骤 11.2.2.4

因为

$1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以

$x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{4 x^{3} - 729 x^{2} + 1350 x - 625}{x - 1}$

解题步骤 11.2.2.5

用

$4 x^{3} - 729 x^{2} + 1350 x - 625$ 除以

$x - 1$ 。

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解题步骤 11.2.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带

$0$ 值的项。

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$729 x^{2}$

$1350 x$

$625$

解题步骤 11.2.2.5.2

将被除数中的最高阶项

$4 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项

$x$ 。

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$

解题步骤 11.2.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

解题步骤 11.2.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$4 x^{3} - 4 x^{2}$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

解题步骤 11.2.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$

解题步骤 11.2.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$

解题步骤 11.2.2.5.7

将被除数中的最高阶项

$- 725 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项

$x$ 。

				$4 x^{2}$	-	$725 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$

解题步骤 11.2.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$	-	$725 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					-	$725 x^{2}$	+	$725 x$

解题步骤 11.2.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$- 725 x^{2} + 725 x$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$	-	$725 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$

解题步骤 11.2.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$	-	$725 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$

解题步骤 11.2.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 x^{2}$	-	$725 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$	-	$625$

解题步骤 11.2.2.5.12

将被除数中的最高阶项

$625 x$ 除以除数中的最高阶项

$x$ 。

				$4 x^{2}$	-	$725 x$	+	$625$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$	-	$625$

解题步骤 11.2.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$	-	$725 x$	+	$625$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$	-	$625$
							+	$625 x$	-	$625$

解题步骤 11.2.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$625 x - 625$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$	-	$725 x$	+	$625$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$	-	$625$
							-	$625 x$	+	$625$

解题步骤 11.2.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$	-	$725 x$	+	$625$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$729 x^{2}$	+	$1350 x$	-	$625$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$725 x^{2}$	+	$1350 x$
					+	$725 x^{2}$	-	$725 x$
							+	$625 x$	-	$625$
							-	$625 x$	+	$625$
										$0$

解题步骤 11.2.2.5.16

因为余数为

$0$ ，所以最终答案是商。

$4 x^{2} - 725 x + 625$

解题步骤 11.2.2.6

将

$4 x^{3} - 729 x^{2} + 1350 x - 625$ 书写为因数的集合。

$(x - 1) (4 x^{2} - 725 x + 625) = 0$

解题步骤 11.3

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$x - 1 = 0$

$4 x^{2} - 725 x + 625 = 0$

解题步骤 11.4

将

$x - 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 11.4.1

将

$x - 1$ 设为等于

$0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 11.4.2

在等式两边都加上

$1$ 。

$x = 1$

解题步骤 11.5

将

$4 x^{2} - 725 x + 625$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 11.5.1

将

$4 x^{2} - 725 x + 625$ 设为等于

$0$ 。

$4 x^{2} - 725 x + 625 = 0$

解题步骤 11.5.2

求解

$x$ 的

$4 x^{2} - 725 x + 625 = 0$ 。

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解题步骤 11.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 11.5.2.2

将

$a = 4$ 、

$b = - 725$ 和

$c = 625$ 的值代入二次公式中并求解

$x$ 。

$\frac{725 \pm \sqrt{{(- 725)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 625)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 11.5.2.3

化简。

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解题步骤 11.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 11.5.2.3.1.1

对

$- 725$ 进行

$2$ 次方运算。

$x = \frac{725 \pm \sqrt{525625 - 4 \cdot 4 \cdot 625}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 11.5.2.3.1.2

乘以

$- 4 \cdot 4 \cdot 625$ 。

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解题步骤 11.5.2.3.1.2.1

将

$- 4$ 乘以

$4$ 。

$x = \frac{725 \pm \sqrt{525625 - 16 \cdot 625}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 11.5.2.3.1.2.2

将

$- 16$ 乘以

$625$ 。

$x = \frac{725 \pm \sqrt{525625 - 10000}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 11.5.2.3.1.3

从

$525625$ 中减去

$10000$ 。

$x = \frac{725 \pm \sqrt{515625}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 11.5.2.3.1.4

将

$515625$ 重写为

$125^{2} \cdot 33$ 。

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解题步骤 11.5.2.3.1.4.1

从

$515625$ 中分解出因数

$15625$ 。

$x = \frac{725 \pm \sqrt{15625 (33)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 11.5.2.3.1.4.2

将

$15625$ 重写为

$125^{2}$ 。

$x = \frac{725 \pm \sqrt{125^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 11.5.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{725 \pm 125 \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 11.5.2.3.2

将

$2$ 乘以

$4$ 。

$x = \frac{725 \pm 125 \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 11.5.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{725 + 125 \sqrt{33}}{8}, \frac{725 - 125 \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 11.6

最终解为使

$(x - 1) (4 x^{2} - 725 x + 625) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, \frac{725 + 125 \sqrt{33}}{8}, \frac{725 - 125 \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 12

排除不能使

$\log (8 x) - \log (1 + \sqrt{x}) = 2$ 成立的解。

$x = \frac{725 + 125 \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{725 + 125 \sqrt{33}}{8}$

小数形式：

$x = 180.38379135 \dots$

初级微积分 示例

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