初级微积分示例

$\frac{{(x + h)}^{- 2} - x^{- 2}}{h}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

将 ${(x + h)}^{- 2}$ 重写为 ${({(x + h)}^{- 1})}^{2}$ 。

$\frac{{({(x + h)}^{- 1})}^{2} - x^{- 2}}{h}$

解题步骤 1.2

将 $x^{- 2}$ 重写为 ${(x^{- 1})}^{2}$ 。

$\frac{{({(x + h)}^{- 1})}^{2} - {(x^{- 1})}^{2}}{h}$

解题步骤 1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = {(x + h)}^{- 1}$ 和 $b = x^{- 1}$ 。

$\frac{({(x + h)}^{- 1} + x^{- 1}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{(\frac{1}{x + h} + x^{- 1}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

解题步骤 1.4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

解题步骤 1.4.3

要将 $\frac{1}{x + h}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

解题步骤 1.4.4

要将 $\frac{1}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

解题步骤 1.4.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h) x$ 的形式。

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解题步骤 1.4.5.1

将 $\frac{1}{x + h}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

解题步骤 1.4.5.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

解题步骤 1.4.5.3

重新排序 $(x + h) x$ 的因式。

$\frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

解题步骤 1.4.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

解题步骤 1.4.7

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

解题步骤 1.4.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - x^{- 1})}{h}$

解题步骤 1.4.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

解题步骤 1.4.10

要将 $\frac{1}{x + h}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

解题步骤 1.4.11

要将 $- \frac{1}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

解题步骤 1.4.12

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h) x$ 的形式。

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解题步骤 1.4.12.1

将 $\frac{1}{x + h}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

解题步骤 1.4.12.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

解题步骤 1.4.12.3

重新排序 $(x + h) x$ 的因式。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

解题步骤 1.4.13

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 1.4.14

以因式分解的形式重写 $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ 。

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解题步骤 1.4.14.1

运用分配律。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 1.4.14.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 1.4.14.3

从 $0$ 中减去 $h$ 。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 1.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot - 1 \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 1.6

合并指数。

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解题步骤 1.6.1

提取负因数。

$\frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

解题步骤 1.6.2

将 $\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ 乘以 $\frac{h}{x (x + h)}$ 。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

解题步骤 1.6.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x (x + h) (x + h)}}{h}$

解题步骤 1.6.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x^{1} (x + h) (x + h)}}{h}$

解题步骤 1.6.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

解题步骤 1.6.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

解题步骤 1.6.7

对 $x + h$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} (x + h))}}{h}$

解题步骤 1.6.8

对 $x + h$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} {(x + h)}^{1})}}{h}$

解题步骤 1.6.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

解题步骤 1.6.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 2

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

将 $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 3.2

从 $- (2 x + h) h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 3.3

约去公因数。

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 3.4

重写表达式。

$\frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

解题步骤 4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

初级微积分 示例

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