初级微积分示例

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} - \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 3 x + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $3$ 。

$1, 2$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 。

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 。

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + 1) (x + 2) (x - 3)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ 乘以 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 。

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$ 乘以 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 。

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{x + 2}{(x - 3) (x + 1) (x + 2)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x - 3) (x + 1) (x + 2)$ 的因式。

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{x + 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{x - 3 - (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 6.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x - 3 - x - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 6.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{0 - 3 - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 6.4

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- 3 - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 6.5

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 5}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

初级微积分 示例

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