初级微积分示例

$\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{5} ((x - 5) (x + 15)) = 3$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 5) (x + 15)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\log_{5} (x (x + 15) - 5 (x + 15)) = 3$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 (x + 15)) = 3$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

解题步骤 1.3.1.2

将 $15$ 移到 $x$ 的左侧。

$\log_{5} (x^{2} + 15 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 5$ 乘以 $15$ 。

$\log_{5} (x^{2} + 15 x - 5 x - 75) = 3$

解题步骤 1.3.2

从 $15 x$ 中减去 $5 x$ 。

$\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$5^{3} = x^{2} + 10 x - 75$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$ 。

$x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$

解题步骤 3.2

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$x^{2} + 10 x - 75 = 125$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $125$ 。

$x^{2} + 10 x - 75 - 125 = 0$

解题步骤 3.4

从 $- 75$ 中减去 $125$ 。

$x^{2} + 10 x - 200 = 0$

解题步骤 3.5

使用 AC 法来对 $x^{2} + 10 x - 200$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 200$ ，和为 $10$ 。

$- 10, 20$

解题步骤 3.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 10) (x + 20) = 0$

解题步骤 3.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 10 = 0$

$x + 20 = 0$

解题步骤 3.7

将 $x - 10$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $x - 10$ 设为等于 $0$ 。

$x - 10 = 0$

解题步骤 3.7.2

在等式两边都加上 $10$ 。

$x = 10$

解题步骤 3.8

将 $x + 20$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.8.1

将 $x + 20$ 设为等于 $0$ 。

$x + 20 = 0$

解题步骤 3.8.2

从等式两边同时减去 $20$ 。

$x = - 20$

解题步骤 3.9

最终解为使 $(x - 10) (x + 20) = 0$ 成立的所有值。

$x = 10, - 20$

解题步骤 4

排除不能使 $\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$ 成立的解。

$x = 10$

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