初级微积分示例

f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}

$f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}$

解题步骤 1

将

\sqrt{25 - x^{2}}

$\sqrt{25 - x^{2}}$ 的被开方数设为大于或等于

0

$0$ ，以求使表达式有意义的区间。

25 - x^{2} \geq 0

$25 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 2

求解

x

$x$ 。

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解题步骤 2.1

从不等式两边同时减去

25

$25$ 。

- x^{2} \geq - 25

$- x^{2} \geq - 25$

解题步骤 2.2

将

- x^{2} \geq - 25

$- x^{2} \geq - 25$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将

- x^{2} \geq - 25

$- x^{2} \geq - 25$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 25}{- 1}

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 25}{- 1}

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2

用

x^{2}

$x^{2}$ 除以

1

$1$ 。

x^{2} \leq \frac{- 25}{- 1}

$x^{2} \leq \frac{- 25}{- 1}$

x^{2} \leq \frac{- 25}{- 1}

$x^{2} \leq \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

用

- 25

$- 25$ 除以

- 1

$- 1$ 。

x^{2} \leq 25

$x^{2} \leq 25$

x^{2} \leq 25

$x^{2} \leq 25$

x^{2} \leq 25

$x^{2} \leq 25$

解题步骤 2.3

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{25}

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{25}$

解题步骤 2.4

化简方程。

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解题步骤 2.4.1

化简左边。

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解题步骤 2.4.1.1

从根式下提出各项。

| x | \leq \sqrt{25}

$| x | \leq \sqrt{25}$

| x | \leq \sqrt{25}

$| x | \leq \sqrt{25}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简

\sqrt{25}

$\sqrt{25}$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将

25

$25$ 重写为

5^{2}

$5^{2}$ 。

| x | \leq \sqrt{5^{2}}

$| x | \leq \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 2.4.2.1.2

从根式下提出各项。

| x | \leq | 5 |

$| x | \leq | 5 |$

解题步骤 2.4.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

5

$5$ 之间的距离为

5

$5$ 。

| x | \leq 5

$| x | \leq 5$

| x | \leq 5

$| x | \leq 5$

| x | \leq 5

$| x | \leq 5$

| x | \leq 5

$| x | \leq 5$

解题步骤 2.5

将

| x | \leq 5

$| x | \leq 5$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.5.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

x \geq 0

$x \geq 0$

解题步骤 2.5.2

在

x

$x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

x \leq 5

$x \leq 5$

解题步骤 2.5.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

x < 0

$x < 0$

解题步骤 2.5.4

在

x

$x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以

- 1

$- 1$ 。

- x \leq 5

$- x \leq 5$

解题步骤 2.5.5

书写为分段式。

{\begin{cases} x \leq 5 & x \geq 0 \\ - x \leq 5 & x < 0 \end{cases}

${\begin{cases} x \leq 5 & x \geq 0 \\ - x \leq 5 & x < 0 \end{cases}$

{\begin{cases} x \leq 5 & x \geq 0 \\ - x \leq 5 & x < 0 \end{cases}

${\begin{cases} x \leq 5 & x \geq 0 \\ - x \leq 5 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.6

求

x \leq 5

$x \leq 5$ 和

x \geq 0

$x \geq 0$ 的交点。

0 \leq x \leq 5

$0 \leq x \leq 5$

解题步骤 2.7

当

x < 0

$x < 0$ 时求解

- x \leq 5

$- x \leq 5$ 。

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解题步骤 2.7.1

将

- x \leq 5

$- x \leq 5$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.7.1.1

将

- x \leq 5

$- x \leq 5$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

\frac{- x}{- 1} \geq \frac{5}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{5}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

\frac{x}{1} \geq \frac{5}{- 1}

$\frac{x}{1} \geq \frac{5}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.2.2

用

x

$x$ 除以

1

$1$ 。

x \geq \frac{5}{- 1}

$x \geq \frac{5}{- 1}$

x \geq \frac{5}{- 1}

$x \geq \frac{5}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.7.1.3.1

用

5

$5$ 除以

- 1

$- 1$ 。

x \geq - 5

$x \geq - 5$

x \geq - 5

$x \geq - 5$

x \geq - 5

$x \geq - 5$

解题步骤 2.7.2

求

x \geq - 5

$x \geq - 5$ 和

x < 0

$x < 0$ 的交点。

- 5 \leq x < 0

$- 5 \leq x < 0$

- 5 \leq x < 0

$- 5 \leq x < 0$

解题步骤 2.8

求解的并集。

- 5 \leq x \leq 5

$- 5 \leq x \leq 5$

- 5 \leq x \leq 5

$- 5 \leq x \leq 5$

解题步骤 3

定义域为使表达式有定义的所有值

x

$x$ 。

区间计数法：

[- 5, 5]

$[- 5, 5]$

集合符号：

{x | - 5 \leq x \leq 5}

${x | - 5 \leq x \leq 5}$

解题步骤 4

初级微积分 示例

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