初级微积分示例

y = 3 cos (\frac{1}{2} x)

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} x)$

解题步骤 1

使用

a cos (b x - c) + d

$a \cos (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

a = 3

$a = 3$

b = \frac{1}{2}

$b = \frac{1}{2}$

c = 0

$c = 0$

d = 0

$d = 0$

解题步骤 2

求振幅

| a |

$| a |$ 。

振幅：

3

$3$

解题步骤 3

求

3 cos (\frac{x}{2})

$3 \cos (\frac{x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 3.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2

使用周期公式中的

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{∣ ∣ \frac{1}{2} ∣ ∣}

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 3.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 约为

0.5

$0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

\frac{2 π}{\frac{1}{2}}

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

2 π \cdot 2

$2 π \cdot 2$

解题步骤 3.5

将

2

$2$ 乘以

2

$2$ 。

4 π

$4 π$

4 π

$4 π$

解题步骤 4

使用公式

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 4.1

函数的相移可通过

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ 计算。

相移：

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$

解题步骤 4.2

替换相移方程中

c

$c$ 和

b

$b$ 的值。

相移：

\frac{0}{\frac{1}{2}}

$\frac{0}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.3

将分子乘以分母的倒数。

相移：

0 \cdot 2

$0 \cdot 2$

解题步骤 4.4

将

0

$0$ 乘以

2

$2$ 。

相移：

0

$0$

相移：

0

$0$

解题步骤 5

列出三角函数的性质。

振幅：

3

$3$

周期：

4 π

$4 π$

相移：无

垂直位移：无

解题步骤 6

选择某些点来画图。

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解题步骤 6.1

求在

x = 0

$x = 0$ 处的点。

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解题步骤 6.1.1

使用表达式中的

0

$0$ 替换变量

x

$x$ 。

f (0) = 3 cos (\frac{0}{2})

$f (0) = 3 \cos (\frac{0}{2})$

解题步骤 6.1.2

化简结果。

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解题步骤 6.1.2.1

用

0

$0$ 除以

2

$2$ 。

f (0) = 3 cos (0)

$f (0) = 3 \cos (0)$

解题步骤 6.1.2.2

cos (0)

$\cos (0)$ 的准确值为

1

$1$ 。

f (0) = 3 \cdot 1

$f (0) = 3 \cdot 1$

解题步骤 6.1.2.3

将

3

$3$ 乘以

1

$1$ 。

f (0) = 3

$f (0) = 3$

解题步骤 6.1.2.4

最终答案为

3

$3$ 。

3

$3$

3

$3$

3

$3$

解题步骤 6.2

求在

x = π

$x = π$ 处的点。

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解题步骤 6.2.1

使用表达式中的

π

$π$ 替换变量

x

$x$ 。

f (π) = 3 cos (\frac{π}{2})

$f (π) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 6.2.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.2.1

cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为

0

$0$ 。

f (π) = 3 \cdot 0

$f (π) = 3 \cdot 0$

解题步骤 6.2.2.2

将

3

$3$ 乘以

0

$0$ 。

f (π) = 0

$f (π) = 0$

解题步骤 6.2.2.3

最终答案为

0

$0$ 。

0

$0$

0

$0$

0

$0$

解题步骤 6.3

求在

x = 2 π

$x = 2 π$ 处的点。

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解题步骤 6.3.1

使用表达式中的

2 π

$2 π$ 替换变量

x

$x$ 。

f (2 π) = 3 cos (\frac{2 π}{2})

$f (2 π) = 3 \cos (\frac{2 π}{2})$

解题步骤 6.3.2

化简结果。

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解题步骤 6.3.2.1

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$f (2 π) = 3 \cos (\frac{2 π}{2})$

解题步骤 6.3.2.1.2

用

$π$ 除以

$1$ 。

$f (2 π) = 3 \cos (π)$

解题步骤 6.3.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (2 π) = 3 (- \cos (0))$

解题步骤 6.3.2.3

$\cos (0)$ 的准确值为

$1$ 。

$f (2 π) = 3 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 6.3.2.4

乘以

$3 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 6.3.2.4.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$f (2 π) = 3 \cdot - 1$

解题步骤 6.3.2.4.2

将

$3$ 乘以

$- 1$ 。

$f (2 π) = - 3$

解题步骤 6.3.2.5

最终答案为

$- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 6.4

求在

$x = 3 π$ 处的点。

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解题步骤 6.4.1

使用表达式中的

$3 π$ 替换变量

$x$ 。

$f (3 π) = 3 \cos (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 6.4.2

化简结果。

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解题步骤 6.4.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (3 π) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 6.4.2.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为

$0$ 。

$f (3 π) = 3 \cdot 0$

解题步骤 6.4.2.3

将

$3$ 乘以

$0$ 。

$f (3 π) = 0$

解题步骤 6.4.2.4

最终答案为

$0$ 。

$0$

解题步骤 6.5

求在

$x = 4 π$ 处的点。

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解题步骤 6.5.1

使用表达式中的

$4 π$ 替换变量

$x$ 。

$f (4 π) = 3 \cos (\frac{4 π}{2})$

解题步骤 6.5.2

化简结果。

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解题步骤 6.5.2.1

约去

$4$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.1.1

从

$4 π$ 中分解出因数

$2$ 。

$f (4 π) = 3 \cos (\frac{2 (2 π)}{2})$

解题步骤 6.5.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.2.1.2.1

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$f (4 π) = 3 \cos (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

解题步骤 6.5.2.1.2.2

约去公因数。

$f (4 π) = 3 \cos (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

解题步骤 6.5.2.1.2.3

重写表达式。

$f (4 π) = 3 \cos (\frac{2 π}{1})$

解题步骤 6.5.2.1.2.4

用

$2 π$ 除以

$1$ 。

$f (4 π) = 3 \cos (2 π)$

解题步骤 6.5.2.2

减去

$2 π$ 的全角，直至角度大于等于

$0$ 且小于

$2 π$ 。

$f (4 π) = 3 \cos (0)$

解题步骤 6.5.2.3

$\cos (0)$ 的准确值为

$1$ 。

$f (4 π) = 3 \cdot 1$

解题步骤 6.5.2.4

将

$3$ 乘以

$1$ 。

$f (4 π) = 3$

解题步骤 6.5.2.5

最终答案为

$3$ 。

$3$

解题步骤 6.6

列出表中的点。

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 3 \\ π & 0 \\ 2 π & - 3 \\ 3 π & 0 \\ 4 π & 3 \end{array}$

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

振幅：

$3$

周期：

$4 π$

相移：无

垂直位移：无

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 3 \\ π & 0 \\ 2 π & - 3 \\ 3 π & 0 \\ 4 π & 3 \end{array}$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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