初级微积分示例

f (x) = x^{3} - x

$f (x) = x^{3} - x$

解题步骤 1

求

f (- x)

$f (- x)$ 。

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解题步骤 1.1

通过代入

- x

$- x$ 替换

f (x)

$f (x)$ 中所有出现的

x

$x$ 来求

f (- x)

$f (- x)$ 。

f (- x) = {(- x)}^{3} - (- x)

$f (- x) = {(- x)}^{3} - (- x)$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

对

- x

$- x$ 运用乘积法则。

f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} - (- x)

$f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} - (- x)$

解题步骤 1.2.2

对

- 1

$- 1$ 进行

3

$3$ 次方运算。

f (- x) = - x^{3} - (- x)

$f (- x) = - x^{3} - (- x)$

解题步骤 1.2.3

乘以

- (- x)

$- (- x)$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

f (- x) = - x^{3} + 1 x

$f (- x) = - x^{3} + 1 x$

解题步骤 1.2.3.2

将

x

$x$ 乘以

1

$1$ 。

f (- x) = - x^{3} + x

$f (- x) = - x^{3} + x$

f (- x) = - x^{3} + x

$f (- x) = - x^{3} + x$

f (- x) = - x^{3} + x

$f (- x) = - x^{3} + x$

f (- x) = - x^{3} + x

$f (- x) = - x^{3} + x$

解题步骤 2

如果一个函数满足

f (- x) = f (x)

$f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

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解题步骤 2.1

判断

f (- x) = f (x)

$f (- x) = f (x)$ 是否成立。

解题步骤 2.2

因为

- x^{3} + x

$- x^{3} + x$

\neq

$\neq$

x^{3} - x

$x^{3} - x$ ，所以该函数不是偶函数。

该函数不是偶函数

该函数不是偶函数

解题步骤 3

如果一个函数满足

f (- x) = - f (x)

$f (- x) = - f (x)$ ，那么它是一个奇函数。

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解题步骤 3.1

求

- f (x)

$- f (x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

将

x^{3} - x

$x^{3} - x$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

- f (x) = - (x^{3} - x)

$- f (x) = - (x^{3} - x)$

解题步骤 3.1.2

运用分配律。

- f (x) = - x^{3} + x

$- f (x) = - x^{3} + x$

- f (x) = - x^{3} + x

$- f (x) = - x^{3} + x$

解题步骤 3.2

因为

- x^{3} + x = - x^{3} + x

$- x^{3} + x = - x^{3} + x$ ，所以该函数是奇函数。

该函数是奇函数

该函数是奇函数

解题步骤 4

[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$