初级微积分示例

$\frac{x + 5}{x - 2} = \frac{5}{x + 2} + \frac{28}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{x + 5}{x - 2} = \frac{5}{x + 2} + \frac{28}{x^{2} - 2^{2}}$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{x + 5}{x - 2} = \frac{5}{x + 2} + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x - 2, x + 2, (x + 2) (x - 2)$

解题步骤 2.2

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 2.3

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 2.4

$1, 1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$1$

解题步骤 2.5

$x - 2$ 的因式是 $x - 2$ 本身。

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 2.6

$x + 2$ 的因式是 $x + 2$ 本身。

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 2.7

$x - 2$ 的因式是 $x - 2$ 本身。

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 2.8

$x - 2, x + 2, x + 2, x - 2$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$(x - 2) (x + 2)$

解题步骤 3

将 $\frac{x + 5}{x - 2} = \frac{5}{x + 2} + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)}$ 中的每一项乘以 $(x - 2) (x + 2)$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{x + 5}{x - 2} = \frac{5}{x + 2} + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)}$ 中的每一项乘以 $(x - 2) (x + 2)$ 。

$\frac{x + 5}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x + 5}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

解题步骤 3.2.1.2

重写表达式。

$(x + 5) (x + 2) = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

解题步骤 3.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 5) (x + 2)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$x (x + 2) + 5 (x + 2) = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

解题步骤 3.2.2.2

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot 2 + 5 (x + 2) = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

解题步骤 3.2.2.3

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2 = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

解题步骤 3.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2 = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

解题步骤 3.2.3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + 2 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 2 = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

解题步骤 3.2.3.1.3

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} + 2 x + 5 x + 10 = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

解题步骤 3.2.3.2

将 $2 x$ 和 $5 x$ 相加。

$x^{2} + 7 x + 10 = \frac{5}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1

从 $(x - 2) (x + 2)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$x^{2} + 7 x + 10 = \frac{5}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

解题步骤 3.3.1.1.2

约去公因数。

$x^{2} + 7 x + 10 = \frac{5}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

解题步骤 3.3.1.1.3

重写表达式。

$x^{2} + 7 x + 10 = 5 (x - 2) + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

解题步骤 3.3.1.2

运用分配律。

$x^{2} + 7 x + 10 = 5 x + 5 \cdot - 2 + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

解题步骤 3.3.1.3

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{2} + 7 x + 10 = 5 x - 10 + \frac{28}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

解题步骤 3.3.1.4

约去 $(x - 2) (x + 2)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.4.1

从 $(x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $(x - 2) (x + 2)$ 。

$x^{2} + 7 x + 10 = 5 x - 10 + \frac{28}{(x - 2) (x + 2) (1)} ((x - 2) (x + 2))$

解题步骤 3.3.1.4.2

约去公因数。

$x^{2} + 7 x + 10 = 5 x - 10 + \frac{28}{(x - 2) (x + 2) \cdot 1} ((x - 2) (x + 2))$

解题步骤 3.3.1.4.3

重写表达式。

$x^{2} + 7 x + 10 = 5 x - 10 + 28$

解题步骤 3.3.2

将 $- 10$ 和 $28$ 相加。

$x^{2} + 7 x + 10 = 5 x + 18$

解题步骤 4

求解方程。

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解题步骤 4.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.1.1

从等式两边同时减去 $5 x$ 。

$x^{2} + 7 x + 10 - 5 x = 18$

解题步骤 4.1.2

从 $7 x$ 中减去 $5 x$ 。

$x^{2} + 2 x + 10 = 18$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $18$ 。

$x^{2} + 2 x + 10 - 18 = 0$

解题步骤 4.3

从 $10$ 中减去 $18$ 。

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

解题步骤 4.4

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $2$ 。

$- 2, 4$

解题步骤 4.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 2) (x + 4) = 0$

解题步骤 4.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 4.6

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.6.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 4.6.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 4.7

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.7.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 4.7.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 4.8

最终解为使 $(x - 2) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 4$

解题步骤 5

排除不能使 $\frac{x + 5}{x - 2} = \frac{5}{x + 2} + \frac{28}{x^{2} - 4}$ 成立的解。

$x = - 4$

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