初级微积分示例

$4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $\cos (x)$ 。

$4 {(u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

解题步骤 2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.1

将 $4 u^{2}$ 重写为 ${(2 u)}^{2}$ 。

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

解题步骤 2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1^{2} = 0$

解题步骤 2.3

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

解题步骤 2.4

重写多项式。

${(2 u)}^{2} - 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

解题步骤 2.5

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 2 u$ 和 $b = 1$ 。

${(2 u - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 3

将 $2 u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 u - 1 = 0$

解题步骤 4

求解 $u$ 。

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解题步骤 4.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 u = 1$

解题步骤 4.2

将 $2 u = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $2 u = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{1}{2}$

解题步骤 5

代入 $\cos (x)$ 替换 $u$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 6

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 7

化简右边。

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解题步骤 7.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 8

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 9

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 9.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 9.2

合并分数。

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解题步骤 9.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 9.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 9.3

化简分子。

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解题步骤 9.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 9.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 10

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 10.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 10.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 10.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 11

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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