初级微积分示例

$2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $\cos (x)$ 。

$2 {(u)}^{2} - (u) - 1 = 0$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = - 1$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $- u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

解题步骤 2.1.2

把 $- 1$ 重写为 $1$ 加 $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

解题步骤 2.1.3

运用分配律。

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

解题步骤 2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

解题步骤 2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

解题步骤 2.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u + 1$ 来因式分解多项式。

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

解题步骤 4

将 $2 u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.1

将 $2 u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 u + 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $u$ 的 $2 u + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 u = - 1$

解题步骤 4.2.2

将 $2 u = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $2 u = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{1}{2}$

解题步骤 5

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.1

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

解题步骤 6

最终解为使 $(2 u + 1) (u - 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = - \frac{1}{2}, 1$

解题步骤 7

代入 $\cos (x)$ 替换 $u$ 。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, 1$

解题步骤 8

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = 1$

解题步骤 9

在 $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 9.2

化简右边。

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解题步骤 9.2.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 9.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 9.4

化简 $2 π - \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 9.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 9.4.2

合并分数。

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解题步骤 9.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 9.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 9.4.3

化简分子。

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解题步骤 9.4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 9.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 9.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 9.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 9.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 9.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 9.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 9.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

在 $\cos (x) = 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (1)$

解题步骤 10.2

化简右边。

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解题步骤 10.2.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 10.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 10.4

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 10.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 10.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 10.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 10.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 10.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

列出所有解。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

合并答案。

$x = \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

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