初级微积分示例

$\sqrt{x} + \sqrt{2 x} = 1$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\sqrt{2 x}$ 。

$\sqrt{x} = 1 - \sqrt{2 x}$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x}}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

化简。

$x = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$ 重写为 $(1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$ 。

$x = (1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$

解题步骤 3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

运用分配律。

$x = 1 (1 - \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} (1 - \sqrt{2 x})$

解题步骤 3.3.1.2.2

运用分配律。

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} (1 - \sqrt{2 x})$

解题步骤 3.3.1.2.3

运用分配律。

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

解题步骤 3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$x = 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

解题步骤 3.3.1.3.1.2

将 $- \sqrt{2 x}$ 乘以 $1$ 。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

解题步骤 3.3.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

解题步骤 3.3.1.3.1.4

乘以 $- \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + 1 \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.2

将 $\sqrt{2 x}$ 乘以 $1$ 。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.3

对 $\sqrt{2 x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.4

对 $\sqrt{2 x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5

将 ${\sqrt{2 x}}^{2}$ 重写为 $2 x$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.3.1.5.4.1

约去公因数。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.4.2

重写表达式。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.5

化简。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + 2 x$

解题步骤 3.3.1.3.2

从 $- \sqrt{2 x}$ 中减去 $\sqrt{2 x}$ 。

$x = 1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x$

解题步骤 4

求解 $- 2 \sqrt{2 x}$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x$ 。

$1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x$

解题步骤 4.2

将所有不包含 $- 2 \sqrt{2 x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x - 1$

解题步骤 4.2.2

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$- 2 \sqrt{2 x} = x - 1 - 2 x$

解题步骤 4.2.3

从 $x$ 中减去 $2 x$ 。

$- 2 \sqrt{2 x} = - x - 1$

解题步骤 5

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- 2 \sqrt{2 x})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6

化简方程的两边。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

化简 ${(- 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $2 x$ 运用乘积法则。

${(- 2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

乘以 $- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.2.1.2.1

提取负因数。

${(- (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2.2

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

${(- (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(- 2^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

${(- 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2.5

在公分母上合并分子。

${(- 2^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

${(- 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.1.3.1

对 $- 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3.2

对 $- 2^{\frac{3}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.5

将 ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.6

将 ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.6.2.1

约去公因数。

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.6.2.2

重写表达式。

$2^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.7

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.8

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.8.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.8.2.1

约去公因数。

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.8.2.2

重写表达式。

$8 x^{1} = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.9

化简。

$8 x = {(- x - 1)}^{2}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简 ${(- x - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

将 ${(- x - 1)}^{2}$ 重写为 $(- x - 1) (- x - 1)$ 。

$8 x = (- x - 1) (- x - 1)$

解题步骤 6.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- x - 1) (- x - 1)$ 。

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解题步骤 6.3.1.2.1

运用分配律。

$8 x = - x (- x - 1) - 1 (- x - 1)$

解题步骤 6.3.1.2.2

运用分配律。

$8 x = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x - 1)$

解题步骤 6.3.1.2.3

运用分配律。

$8 x = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 6.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$8 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 6.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$8 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 6.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$8 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 6.3.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$8 x = 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 6.3.1.3.1.4

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$8 x = x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 6.3.1.3.1.5

乘以 $- x \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.3.1.3.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$8 x = x^{2} + 1 x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 6.3.1.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$8 x = x^{2} + x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 6.3.1.3.1.6

乘以 $- 1 (- x)$ 。

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解题步骤 6.3.1.3.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$8 x = x^{2} + x + 1 x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 6.3.1.3.1.6.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$8 x = x^{2} + x + x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 6.3.1.3.1.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$8 x = x^{2} + x + x + 1$

解题步骤 6.3.1.3.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$8 x = x^{2} + 2 x + 1$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$x^{2} + 2 x + 1 = 8 x$

解题步骤 7.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $8 x$ 。

$x^{2} + 2 x + 1 - 8 x = 0$

解题步骤 7.2.2

从 $2 x$ 中减去 $8 x$ 。

$x^{2} - 6 x + 1 = 0$

解题步骤 7.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.4

将 $a = 1$ 、 $b = - 6$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5

化简。

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解题步骤 7.5.1

化简分子。

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解题步骤 7.5.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.3

从 $36$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.4

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 7.5.1.4.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.5.3

化简 $\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 3 \pm 2 \sqrt{2}$

解题步骤 7.6

最终答案为两个解的组合。

$x = 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 8

排除不能使 $\sqrt{x} + \sqrt{2 x} = 1$ 成立的解。

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

小数形式：

$x = 0.17157287 \dots$

初级微积分 示例

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