初级微积分示例

f (x) = \sqrt{x^{2} - 16}

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 16}$

解题步骤 1

将

\sqrt{x^{2} - 16}

$\sqrt{x^{2} - 16}$ 的被开方数设为大于或等于

0

$0$ ，以求使表达式有意义的区间。

x^{2} - 16 \geq 0

$x^{2} - 16 \geq 0$

解题步骤 2

求解

x

$x$ 。

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解题步骤 2.1

在不等式两边同时加上

16

$16$ 。

x^{2} \geq 16

$x^{2} \geq 16$

解题步骤 2.2

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{16}

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{16}$

解题步骤 2.3

化简方程。

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解题步骤 2.3.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.1

从根式下提出各项。

| x | \geq \sqrt{16}

$| x | \geq \sqrt{16}$

| x | \geq \sqrt{16}

$| x | \geq \sqrt{16}$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简

\sqrt{16}

$\sqrt{16}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

将

16

$16$ 重写为

4^{2}

$4^{2}$ 。

| x | \geq \sqrt{4^{2}}

$| x | \geq \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2

从根式下提出各项。

| x | \geq | 4 |

$| x | \geq | 4 |$

解题步骤 2.3.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

4

$4$ 之间的距离为

4

$4$ 。

| x | \geq 4

$| x | \geq 4$

| x | \geq 4

$| x | \geq 4$

| x | \geq 4

$| x | \geq 4$

| x | \geq 4

$| x | \geq 4$

解题步骤 2.4

将

| x | \geq 4

$| x | \geq 4$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.4.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

x \geq 0

$x \geq 0$

解题步骤 2.4.2

在

x

$x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

x \geq 4

$x \geq 4$

解题步骤 2.4.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

x < 0

$x < 0$

解题步骤 2.4.4

在

x

$x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以

- 1

$- 1$ 。

- x \geq 4

$- x \geq 4$

解题步骤 2.4.5

书写为分段式。

{\begin{cases} x \geq 4 & x \geq 0 \\ - x \geq 4 & x < 0 \end{cases}

${\begin{cases} x \geq 4 & x \geq 0 \\ - x \geq 4 & x < 0 \end{cases}$

{\begin{cases} x \geq 4 & x \geq 0 \\ - x \geq 4 & x < 0 \end{cases}

${\begin{cases} x \geq 4 & x \geq 0 \\ - x \geq 4 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.5

求

x \geq 4

$x \geq 4$ 和

x \geq 0

$x \geq 0$ 的交点。

x \geq 4

$x \geq 4$

解题步骤 2.6

将

- x \geq 4

$- x \geq 4$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.6.1

将

- x \geq 4

$- x \geq 4$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

\frac{- x}{- 1} \leq \frac{4}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{4}{- 1}$

解题步骤 2.6.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

\frac{x}{1} \leq \frac{4}{- 1}

$\frac{x}{1} \leq \frac{4}{- 1}$

解题步骤 2.6.2.2

用

x

$x$ 除以

1

$1$ 。

x \leq \frac{4}{- 1}

$x \leq \frac{4}{- 1}$

x \leq \frac{4}{- 1}

$x \leq \frac{4}{- 1}$

解题步骤 2.6.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.3.1

用

4

$4$ 除以

- 1

$- 1$ 。

x \leq - 4

$x \leq - 4$

x \leq - 4

$x \leq - 4$

x \leq - 4

$x \leq - 4$

解题步骤 2.7

求解的并集。

x \leq - 4

$x \leq - 4$ 或

x \geq 4

$x \geq 4$

x \leq - 4

$x \leq - 4$ 或

x \geq 4

$x \geq 4$

解题步骤 3

定义域为使表达式有定义的所有值

x

$x$ 。

区间计数法：

(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

集合符号：

{x | x \leq - 4, x \geq 4}

${x | x \leq - 4, x \geq 4}$

解题步骤 4

[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$