初级微积分示例

$y = \tan (x - \frac{π}{4})$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

对于任意 $y = \tan (x)$ ，垂直渐近线均出现在 $x = \frac{π}{2} + n π$ 处，其中 $n$ 为一个整数。使用 $y = \tan (x)$ 、 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 的基本周期求 $y = \tan (x - \frac{π}{4})$ 的垂直渐近线。将 $y = a \tan (b x + c) + d$ 的正切函数的变量 $b x + c$ 设为等于 $- \frac{π}{2}$ ，以求 $y = \tan (x - \frac{π}{4})$ 的垂直渐近线出现的位置。

$x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.2

要将 $- \frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = - \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.4

在公分母上合并分子。

$x = \frac{- π \cdot 2 + π}{4}$

解题步骤 1.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 2 π + π}{4}$

解题步骤 1.2.5.2

将 $- 2 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{- π}{4}$

解题步骤 1.2.6

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.3

使正切函数内的 $x - \frac{π}{4}$ 等于 $\frac{π}{2}$ 。

$x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.4

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.4.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.4.2

要将 $\frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.4.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.4.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.4.4

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

解题步骤 1.4.5

化简分子。

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解题步骤 1.4.5.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 1.4.5.2

将 $2 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 1.5

$y = \tan (x - \frac{π}{4})$ 的基期将出现在 $(- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ ，其中 $- \frac{π}{4}$ 和 $\frac{3 π}{4}$ 为垂直渐近线。

$(- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$

解题步骤 1.6

求周期 $\frac{π}{| b |}$ 以确定垂直渐近线的位置。

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解题步骤 1.6.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 1.6.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 1.7

$y = \tan (x - \frac{π}{4})$ 的垂直渐近线出现在 $- \frac{π}{4}$ 、 $\frac{3 π}{4}$ 以及每一处 $x = - \frac{π}{4} + π n$ ，其中 $n$ 为整数。

$x = - \frac{π}{4} + π n$

解题步骤 1.8

正切只具有垂直渐近线。

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = - \frac{π}{4} + π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = - \frac{π}{4} + π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

解题步骤 2

使用 $a \tan (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = 1$

$b = 1$

$c = \frac{π}{4}$

$d = 0$

解题步骤 3

因为函数 $t a n$ 的图像没有最大值或最小值，所以不存在振幅值。

振幅：无

解题步骤 4

求 $\tan (x - \frac{π}{4})$ 的周期。

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解题步骤 4.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 4.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 4.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 5.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 5.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{\frac{π}{4}}{1}$

解题步骤 5.3

用 $\frac{π}{4}$ 除以 $1$ 。

相移： $\frac{π}{4}$

解题步骤 6

列出三角函数的性质。

振幅：无

周期： $π$

相移： $\frac{π}{4}$ （ $\frac{π}{4}$ 向右移）

垂直位移：无

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

垂直渐近线： $x = - \frac{π}{4} + π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

振幅：无

周期： $π$

相移： $\frac{π}{4}$ （ $\frac{π}{4}$ 向右移）

垂直位移：无

解题步骤 8

初级微积分 示例

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