初级微积分示例

$f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ 写为等式。

$y = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{4^{y}}{1 + 4^{y}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$ 。

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$

解题步骤 3.2

两边同时乘以 $1 + 4^{y}$ 。

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

约去 $1 + 4^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

解题步骤 3.3.1.1.2

重写表达式。

$4^{y} = x (1 + 4^{y})$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 $x (1 + 4^{y})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

运用分配律。

$4^{y} = x \cdot 1 + x \cdot 4^{y}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

将 $x$ 和 $4^{y}$ 重新排序。

$4^{y} = x + 4^{y} \cdot x$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $x + 4^{y} x$ 中的因式重新排序。

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

解题步骤 3.4.2

从等式两边同时减去 $x \cdot 4^{y}$ 。

$4^{y} - x \cdot 4^{y} = x$

解题步骤 3.4.3

从 $4^{y} - x \cdot 4^{y}$ 中分解出因数 $4^{y}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

乘以 $1$ 。

$4^{y} \cdot 1 - x \cdot 4^{y} = x$

解题步骤 3.4.3.2

从 $- x \cdot 4^{y}$ 中分解出因数 $4^{y}$ 。

$4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x) = x$

解题步骤 3.4.3.3

从 $4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x)$ 中分解出因数 $4^{y}$ 。

$4^{y} (1 - x) = x$

解题步骤 3.4.4

将 $4^{y} (1 - x) = x$ 中的每一项除以 $1 - x$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $4^{y} (1 - x) = x$ 中的每一项都除以 $1 - x$ 。

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

用 $4^{y}$ 除以 $1$ 。

$4^{y} = \frac{x}{1 - x}$

解题步骤 3.4.5

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (4^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

解题步骤 3.4.6

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (4^{y})$ 。

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

解题步骤 3.4.7

将 $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ 中的每一项除以 $\ln (4)$ 并化简。

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解题步骤 3.4.7.1

将 $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ 中的每一项都除以 $\ln (4)$ 。

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

解题步骤 3.4.7.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.7.2.1

约去 $\ln (4)$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

解题步骤 3.4.7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ 是否为 $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})$ 。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{1 - (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})})}{\ln (4)}$

解题步骤 5.2.3

化简分母。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x}}{1 + 4^{x}} - \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

解题步骤 5.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

解题步骤 5.2.3.3

以因式分解的形式重写 $\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}$ 。

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解题步骤 5.2.3.3.1

从 $4^{x}$ 中减去 $4^{x}$ 。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 0}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

解题步骤 5.2.3.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

解题步骤 5.2.4

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.1

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

解题步骤 5.2.4.2

约去 $1 + 4^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

解题步骤 5.2.4.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

解题步骤 5.2.5

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (4^{x})$ 。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

解题步骤 5.2.6

约去 $\ln (4)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

解题步骤 5.2.6.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)})$ 。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

解题步骤 5.3.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1

使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

解题步骤 5.3.3.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

解题步骤 5.3.4

化简分母。

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解题步骤 5.3.4.1

使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}$

解题步骤 5.3.4.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + \frac{x}{1 - x}}$

解题步骤 5.3.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}}$

解题步骤 5.3.4.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x + x}{1 - x}}$

解题步骤 5.3.4.5

以因式分解的形式重写 $\frac{1 - x + x}{1 - x}$ 。

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解题步骤 5.3.4.5.1

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 + 0}{1 - x}}$

解题步骤 5.3.4.5.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1}{1 - x}}$

解题步骤 5.3.5

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

解题步骤 5.3.6

约去 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

约去公因数。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

解题步骤 5.3.6.2

重写表达式。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ 为 $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

初级微积分 示例

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