初级微积分示例

\sec (4 x) = 2

$\sec (4 x) = 2$

Step 1

对方程两边取反正割以便从正割中提出

x

$x$ 。

4 x = arcsec (2)

$4 x = arcsec (2)$

Step 2

化简右边。

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arcsec (2)

$arcsec (2)$ 的准确值为

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ 。

4 x = \frac{π}{3}

$4 x = \frac{π}{3}$

4 x = \frac{π}{3}

$4 x = \frac{π}{3}$

Step 3

将

4 x = \frac{π}{3}

$4 x = \frac{π}{3}$ 中的每一项除以

4

$4$ 并化简。

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将

4 x = \frac{π}{3}

$4 x = \frac{π}{3}$ 中的每一项都除以

4

$4$ 。

\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

化简左边。

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约去

4

$4$ 的公因数。

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约去公因数。

\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

用

x

$x$ 除以

1

$1$ 。

x = \frac{\frac{π}{3}}{4}

$x = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

x = \frac{\frac{π}{3}}{4}

$x = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

x = \frac{\frac{π}{3}}{4}

$x = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

化简右边。

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将分子乘以分母的倒数。

x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

乘以

\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}

$\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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将

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ 乘以

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ 。

x = \frac{π}{3 \cdot 4}

$x = \frac{π}{3 \cdot 4}$

将

3

$3$ 乘以

4

$4$ 。

x = \frac{π}{12}

$x = \frac{π}{12}$

x = \frac{π}{12}

$x = \frac{π}{12}$

x = \frac{π}{12}

$x = \frac{π}{12}$

x = \frac{π}{12}

$x = \frac{π}{12}$

Step 4

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从

2 π

$2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

4 x = 2 π - \frac{π}{3}

$4 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Step 5

求解

x

$x$ 。

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化简。

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要将

2 π

$2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ 。

4 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}

$4 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

组合

2 π

$2 π$ 和

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ 。

4 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}

$4 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

在公分母上合并分子。

4 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$4 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

将

3

$3$ 乘以

2

$2$ 。

4 x = \frac{6 π - π}{3}

$4 x = \frac{6 π - π}{3}$

从

6 π

$6 π$ 中减去

π

$π$ 。

4 x = \frac{5 π}{3}

$4 x = \frac{5 π}{3}$

4 x = \frac{5 π}{3}

$4 x = \frac{5 π}{3}$

将

4 x = \frac{5 π}{3}

$4 x = \frac{5 π}{3}$ 中的每一项除以

4

$4$ 并化简。

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将

4 x = \frac{5 π}{3}

$4 x = \frac{5 π}{3}$ 中的每一项都除以

4

$4$ 。

\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}$

化简左边。

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约去

4

$4$ 的公因数。

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约去公因数。

\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}$

用

x

$x$ 除以

1

$1$ 。

x = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}$

x = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}$

x = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}$

化简右边。

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将分子乘以分母的倒数。

x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{4}

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

乘以

\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{4}

$\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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将

\frac{5 π}{3}

$\frac{5 π}{3}$ 乘以

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ 。

x = \frac{5 π}{3 \cdot 4}

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 4}$

将

3

$3$ 乘以

4

$4$ 。

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

Step 6

求

\sec (4 x)

$\sec (4 x)$ 的周期。

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函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

使用周期公式中的

4

$4$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 4 |}

$\frac{2 π}{| 4 |}$

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

4

$4$ 之间的距离为

4

$4$ 。

\frac{2 π}{4}

$\frac{2 π}{4}$

约去

2

$2$ 和

4

$4$ 的公因数。

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从

2 π

$2 π$ 中分解出因数

2

$2$ 。

\frac{2 (π)}{4}

$\frac{2 (π)}{4}$

约去公因数。

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从

4

$4$ 中分解出因数

2

$2$ 。

\frac{2 π}{2 \cdot 2}

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

约去公因数。

\frac{2 π}{2 \cdot 2}

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

重写表达式。

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

Step 7

\sec (4 x)

$\sec (4 x)$ 函数的周期为

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ ，所以函数值在两个方向上每隔

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ 弧度将重复出现。

x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数

n

$n$

初级微积分 示例

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