初级微积分示例

e^{x} - 6 e^{- x} - 1 = 0

$e^{x} - 6 e^{- x} - 1 = 0$

解题步骤 1

将

e^{- x}

$e^{- x}$ 重写为乘方形式。

e^{x} - 6 {(e^{x})}^{- 1} - 1 = 0

$e^{x} - 6 {(e^{x})}^{- 1} - 1 = 0$

解题步骤 2

代入

u

$u$ 替换

e^{x}

$e^{x}$ 。

u - 6 u^{- 1} - 1 = 0

$u - 6 u^{- 1} - 1 = 0$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

u - 6 \frac{1}{u} - 1 = 0

$u - 6 \frac{1}{u} - 1 = 0$

解题步骤 3.2

组合

- 6

$- 6$ 和

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ 。

u + \frac{- 6}{u} - 1 = 0

$u + \frac{- 6}{u} - 1 = 0$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

u - \frac{6}{u} - 1 = 0

$u - \frac{6}{u} - 1 = 0$

u - \frac{6}{u} - 1 = 0

$u - \frac{6}{u} - 1 = 0$

解题步骤 4

求解

u

$u$ 。

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解题步骤 4.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 4.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

1, u, 1, 1

$1, u, 1, 1$

解题步骤 4.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

u

$u$

u

$u$

解题步骤 4.2

将

u - \frac{6}{u} - 1 = 0

$u - \frac{6}{u} - 1 = 0$ 中的每一项乘以

u

$u$ 以消去分数。

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解题步骤 4.2.1

将

u - \frac{6}{u} - 1 = 0

$u - \frac{6}{u} - 1 = 0$ 中的每一项乘以

u

$u$ 。

u \cdot u - \frac{6}{u} u - u = 0 u

$u \cdot u - \frac{6}{u} u - u = 0 u$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将

u

$u$ 乘以

u

$u$ 。

u^{2} - \frac{6}{u} u - u = 0 u

$u^{2} - \frac{6}{u} u - u = 0 u$

解题步骤 4.2.2.1.2

约去

u

$u$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.2.1

将

- \frac{6}{u}

$- \frac{6}{u}$ 中前置负号移到分子中。

u^{2} + \frac{- 6}{u} u - u = 0 u

$u^{2} + \frac{- 6}{u} u - u = 0 u$

解题步骤 4.2.2.1.2.2

约去公因数。

u^{2} + \frac{- 6}{u} u - u = 0 u

$u^{2} + \frac{- 6}{u} u - u = 0 u$

解题步骤 4.2.2.1.2.3

重写表达式。

u^{2} - 6 - u = 0 u

$u^{2} - 6 - u = 0 u$

u^{2} - 6 - u = 0 u

$u^{2} - 6 - u = 0 u$

u^{2} - 6 - u = 0 u

$u^{2} - 6 - u = 0 u$

u^{2} - 6 - u = 0 u

$u^{2} - 6 - u = 0 u$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

将

0

$0$ 乘以

u

$u$ 。

u^{2} - 6 - u = 0

$u^{2} - 6 - u = 0$

u^{2} - 6 - u = 0

$u^{2} - 6 - u = 0$

u^{2} - 6 - u = 0

$u^{2} - 6 - u = 0$

解题步骤 4.3

求解方程。

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解题步骤 4.3.1

使用 AC 法来对

u^{2} - 6 - u

$u^{2} - 6 - u$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.3.1.1

思考一下

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

c

$c$ ，且和为

b

$b$ 。在本例中，其积即为

- 6

$- 6$ ，和为

- 1

$- 1$ 。

- 3, 2

$- 3, 2$

解题步骤 4.3.1.2

使用这些整数书写分数形式。

(u - 3) (u + 2) = 0

$(u - 3) (u + 2) = 0$

(u - 3) (u + 2) = 0

$(u - 3) (u + 2) = 0$

解题步骤 4.3.2

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

u - 3 = 0

$u - 3 = 0$

u + 2 = 0

$u + 2 = 0$

解题步骤 4.3.3

将

u - 3

$u - 3$ 设为等于

0

$0$ 并求解

u

$u$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

将

u - 3

$u - 3$ 设为等于

0

$0$ 。

u - 3 = 0

$u - 3 = 0$

解题步骤 4.3.3.2

在等式两边都加上

3

$3$ 。

u = 3

$u = 3$

u = 3

$u = 3$

解题步骤 4.3.4

将

u + 2

$u + 2$ 设为等于

0

$0$ 并求解

u

$u$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

将

u + 2

$u + 2$ 设为等于

0

$0$ 。

u + 2 = 0

$u + 2 = 0$

解题步骤 4.3.4.2

从等式两边同时减去

2

$2$ 。

u = - 2

$u = - 2$

u = - 2

$u = - 2$

解题步骤 4.3.5

最终解为使

(u - 3) (u + 2) = 0

$(u - 3) (u + 2) = 0$ 成立的所有值。

u = 3, - 2

$u = 3, - 2$

u = 3, - 2

$u = 3, - 2$

u = 3, - 2

$u = 3, - 2$

解题步骤 5

代入

3

$3$ 替换

u = e^{x}

$u = e^{x}$ 中的

u

$u$ 。

3 = e^{x}

$3 = e^{x}$

解题步骤 6

求解

3 = e^{x}

$3 = e^{x}$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为

e^{x} = 3

$e^{x} = 3$ 。

e^{x} = 3

$e^{x} = 3$

解题步骤 6.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

\ln (e^{x}) = \ln (3)

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

解题步骤 6.3

展开左边。

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解题步骤 6.3.1

通过将

x

$x$ 移到对数外来展开

\ln (e^{x})

$\ln (e^{x})$ 。

x \ln (e) = \ln (3)

$x \ln (e) = \ln (3)$

解题步骤 6.3.2

e

$e$ 的自然对数为

1

$1$ 。

x \cdot 1 = \ln (3)

$x \cdot 1 = \ln (3)$

解题步骤 6.3.3

将

x

$x$ 乘以

1

$1$ 。

x = \ln (3)

$x = \ln (3)$

x = \ln (3)

$x = \ln (3)$

x = \ln (3)

$x = \ln (3)$

解题步骤 7

代入

- 2

$- 2$ 替换

u = e^{x}

$u = e^{x}$ 中的

u

$u$ 。

- 2 = e^{x}

$- 2 = e^{x}$

解题步骤 8

求解

- 2 = e^{x}

$- 2 = e^{x}$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为

e^{x} = - 2

$e^{x} = - 2$ 。

e^{x} = - 2

$e^{x} = - 2$

解题步骤 8.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

\ln (e^{x}) = \ln (- 2)

$\ln (e^{x}) = \ln (- 2)$

解题步骤 8.3

因为

\ln (- 2)

$\ln (- 2)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 8.4

e^{x} = - 2

$e^{x} = - 2$ 无解

无解

解题步骤 9

列出使方程成立的解。

x = \ln (3)

$x = \ln (3)$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

x = \ln (3)

$x = \ln (3)$

小数形式：

x = 1.09861228 \dots

$x = 1.09861228 \dots$

初级微积分 示例

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