初级微积分示例

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

解题步骤 1

化简方程中的每一项，使右边等于

1

$1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为

1

$1$ 。

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量

a

$a$ 表示椭圆长轴的半径，

b

$b$ 表示椭圆短轴的半径，

h

$h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量，

k

$k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

a = 5

$a = 5$

b = 3

$b = 3$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

解题步骤 4

椭圆的中心符合

(h, k)

$(h, k)$ 的形式。代入

h

$h$ 和

k

$k$ 的值。

(0, 0)

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处

c

$c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式。

\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对

5

$5$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{25 - {(3)}^{2}}

$\sqrt{25 - {(3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对

3

$3$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{25 - 1 \cdot 9}

$\sqrt{25 - 1 \cdot 9}$

解题步骤 5.3.3

将

- 1

$- 1$ 乘以

9

$9$ 。

\sqrt{25 - 9}

$\sqrt{25 - 9}$

解题步骤 5.3.4

从

25

$25$ 中减去

9

$9$ 。

\sqrt{16}

$\sqrt{16}$

解题步骤 5.3.5

将

16

$16$ 重写为

4^{2}

$4^{2}$ 。

\sqrt{4^{2}}

$\sqrt{4^{2}}$

解题步骤 5.3.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

4

$4$

4

$4$

4

$4$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过

h

$h$ 加上

a

$a$ 求得。

(h + a, k)

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将

h

$h$ 、

a

$a$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式。

(0 + 5, 0)

$(0 + 5, 0)$

解题步骤 6.3

化简。

(5, 0)

$(5, 0)$

解题步骤 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting

a

$a$ from

h

$h$ .

(h - a, k)

$(h - a, k)$

解题步骤 6.5

将

h

$h$ 、

a

$a$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式。

(0 - (5), 0)

$(0 - (5), 0)$

解题步骤 6.6

化简。

(- 5, 0)

$(- 5, 0)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(5, 0)

$(5, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 5, 0)

$(- 5, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(5, 0)

$(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ :

$(- 5, 0)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过

$c$ 加上

$h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将

$h$ 、

$c$ 和

$k$ 的已知值代入公式。

$(0 + 4, 0)$

解题步骤 7.3

化简。

$(4, 0)$

解题步骤 7.4

椭圆的第二个焦点可通过从

$h$ 中减去

$c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.5

将

$h$ 、

$c$ 和

$k$ 的已知值代入公式。

$(0 - (4), 0)$

解题步骤 7.6

化简。

$(- 4, 0)$

解题步骤 7.7

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ :

$(4, 0)$

${Focus}_{2}$ :

$(- 4, 0)$

${Focus}_{1}$ :

$(4, 0)$

${Focus}_{2}$ :

$(- 4, 0)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将

$a$ 和

$b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}}{5}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

对

$5$ 进行

$2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{25 - 3^{2}}}{5}$

解题步骤 8.3.2

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 9}}{5}$

解题步骤 8.3.3

将

$- 1$ 乘以

$9$ 。

$\frac{\sqrt{25 - 9}}{5}$

解题步骤 8.3.4

从

$25$ 中减去

$9$ 。

$\frac{\sqrt{16}}{5}$

解题步骤 8.3.5

将

$16$ 重写为

$4^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{5}$

解题步骤 8.3.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{4}{5}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点：

$(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ :

$(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ :

$(- 5, 0)$

${Focus}_{1}$ :

$(4, 0)$

${Focus}_{2}$ :

$(- 4, 0)$

离心率：

$\frac{4}{5}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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