初级微积分示例

x^{2} = 4 y

$x^{2} = 4 y$

解题步骤 1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1

将

y

$y$ 单独提取至等式的左边。

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解题步骤 1.1.1

将方程重写为

4 y = x^{2}

$4 y = x^{2}$ 。

4 y = x^{2}

$4 y = x^{2}$

解题步骤 1.1.2

将

4 y = x^{2}

$4 y = x^{2}$ 中的每一项除以

4

$4$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将

4 y = x^{2}

$4 y = x^{2}$ 中的每一项都除以

4

$4$ 。

\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4}

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去

4

$4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4}

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

用

y

$y$ 除以

1

$1$ 。

y = \frac{x^{2}}{4}

$y = \frac{x^{2}}{4}$

y = \frac{x^{2}}{4}

$y = \frac{x^{2}}{4}$

y = \frac{x^{2}}{4}

$y = \frac{x^{2}}{4}$

y = \frac{x^{2}}{4}

$y = \frac{x^{2}}{4}$

y = \frac{x^{2}}{4}

$y = \frac{x^{2}}{4}$

解题步骤 1.2

对

\frac{x^{2}}{4}

$\frac{x^{2}}{4}$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

a

$a$ 、

b

$b$ 和

c

$c$ 的值。

a = \frac{1}{4}

$a = \frac{1}{4}$

b = 0

$b = 0$

c = 0

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

d

$d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

d = \frac{0}{2 (\frac{1}{4})}

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{4})}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去

0

$0$ 和

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

从

0

$0$ 中分解出因数

2

$2$ 。

d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{4})}

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{4})}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.2.1

约去公因数。

d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{4})}

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{4})}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.2

重写表达式。

d = \frac{0}{\frac{1}{4}}

$d = \frac{0}{\frac{1}{4}}$

d = \frac{0}{\frac{1}{4}}

$d = \frac{0}{\frac{1}{4}}$

d = \frac{0}{\frac{1}{4}}

$d = \frac{0}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.2.3.2.2

将分子乘以分母的倒数。

d = 0 \cdot 4

$d = 0 \cdot 4$

解题步骤 1.2.3.2.3

将

0

$0$ 乘以

4

$4$ 。

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

解题步骤 1.2.4

使用公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

e

$e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将

c

$c$ 、

b

$b$ 和

a

$a$ 的值代入公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{4})}

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{4})}

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{4})}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

组合

4

$4$ 和

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ 。

e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{4}}

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{4}}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

用

4

$4$ 除以

4

$4$ 。

e = 0 - \frac{0}{1}

$e = 0 - \frac{0}{1}$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

用

0

$0$ 除以

1

$1$ 。

e = 0 - 0

$e = 0 - 0$

解题步骤 1.2.4.2.1.5

将

- 1

$- 1$ 乘以

0

$0$ 。

e = 0 + 0

$e = 0 + 0$

e = 0 + 0

$e = 0 + 0$

解题步骤 1.2.4.2.2

将

0

$0$ 和

0

$0$ 相加。

e = 0

$e = 0$

e = 0

$e = 0$

e = 0

$e = 0$

解题步骤 1.2.5

将

a

$a$ 、

d

$d$ 和

e

$e$ 的值代入顶点式

\frac{1}{4} x^{2}

$\frac{1}{4} x^{2}$ 。

\frac{1}{4} x^{2}

$\frac{1}{4} x^{2}$

\frac{1}{4} x^{2}

$\frac{1}{4} x^{2}$

解题步骤 1.3

将

y

$y$ 设为等于右边新的值。

y = \frac{1}{4} x^{2}

$y = \frac{1}{4} x^{2}$

y = \frac{1}{4} x^{2}

$y = \frac{1}{4} x^{2}$

解题步骤 2

使用顶点式

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求

a

$a$ 、

h

$h$ 和

k

$k$ 的值。

a = \frac{1}{4}

$a = \frac{1}{4}$

h = 0

$h = 0$

k = 0

$k = 0$

解题步骤 3

因为

a

$a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 4

求顶点

(h, k)

$(h, k)$ 。

(0, 0)

$(0, 0)$

解题步骤 5

求

p

$p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 5.2

将

a

$a$ 的值代入公式中。

\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

组合

4

$4$ 和

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ 。

\frac{1}{\frac{4}{4}}

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

解题步骤 5.3.2

通过除以各数字进行化简。

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解题步骤 5.3.2.1

用

4

$4$ 除以

4

$4$ 。

\frac{1}{1}

$\frac{1}{1}$

解题步骤 5.3.2.2

用

1

$1$ 除以

1

$1$ 。

1

$1$

1

$1$

1

$1$

1

$1$

解题步骤 6

求焦点。

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解题步骤 6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让

p

$p$ 加上 y 轴坐标

k

$k$ 求得抛物线的焦点。

(h, k + p)

$(h, k + p)$

解题步骤 6.2

将

h

$h$ 、

p

$p$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式并化简。

(0, 1)

$(0, 1)$

(0, 1)

$(0, 1)$

解题步骤 7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

x = 0

$x = 0$

解题步骤 8

求准线。

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解题步骤 8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标

k

$k$ 减去

p

$p$ 求得的水平线。

y = k - p

$y = k - p$

解题步骤 8.2

将

p

$p$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式并化简。

y = - 1

$y = - 1$

y = - 1

$y = - 1$

解题步骤 9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点：

(0, 0)

$(0, 0)$

焦点：

(0, 1)

$(0, 1)$

对称轴：

x = 0

$x = 0$

准线：

y = - 1

$y = - 1$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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